[论文解读] An analog of adjoint ideals and PLT singularities in mixed characteristic

Linquan Ma, Karl Schwede+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 39被引用 12

一句话总结

本文引入了纯BCM-正则奇点与混合特征下的对偶理想，利用完美oid大Cohen-Macaulay代数，建立了伴随关系与伴随的逆关系。它证明了一个统一的Briançon-Skoda定理，并表明当剩余特征 $p > 5$ 时，二维KLT奇点是BCM-正则的，从而在相同条件下推出三维PLT对偶对中对偶中心的正规性。

ABSTRACT

We use the framework of perfectoid big Cohen-Macaulay algebras to define a class of singularities for pairs in mixed characteristic, which we call purely BCM-regular singularities, and a corresponding adjoint ideal. We prove that these satisfy adjunction and inversion of adjunction with respect to the notion of BCM-regularity and the BCM test ideal defined by the first two authors. We compare them with the existing equal characteristic PLT and purely $F$-regular singularities and adjoint ideals. As an application, we obtain a uniform version of the Briançon-Skoda theorem in mixed characteristic. We also use our theory to prove that two-dimensional KLT singularities are BCM-regular if the residue characteristic $p>5$, which implies an inversion of adjunction for three-dimensional PLT pairs of residue characteristic $p>5$. In particular, divisorial centers of PLT pairs in dimension three are normal when $p > 5$. Furthermore, in the appendix we provide a streamlined construction of perfectoid big Cohen-Macaulay algebras and show new functoriality properties for them using the perfectoidization functor of Bhatt and Scholze.

研究动机与目标

• 通过完美oid大Cohen-Macaulay代数，定义混合特征下PLT奇点与对偶理想的类比。
• 为BCM-正则性与BCM测试理想建立伴随关系与伴随的逆关系。
• 将新定义的奇点与对偶理想与等特征下的PLT及$F$-正则奇点进行比较。
• 在混合特征下证明一个统一的Briançon-Skoda定理。
• 证明当 $p > 5$ 时，二维KLT奇点是BCM-正则的，并由此推出三维PLT对偶对中对偶中心的正规性。

提出的方法

• 使用完美oid大Cohen-Macaulay代数作为混合特征下奇点解析的替代方法。
• 通过在 $R$ 与 $R/I_D$ 上相容选取的大Cohen-Macaulay代数 $B$ 与 $C$，定义纯BCM-正则奇点。
• 引入一个对偶理想 $\operatorname{adj}_{B\to C}^D(R,\Delta+D)$，其满足伴随关系与伴随的逆关系。
• 将该框架应用于与等特征及正特征下已有概念（包括PLT与$F$-正则奇点）的比较。
• 利用Bhatt与Scholze的完美oid化函子，建立完美oid大Cohen-Macaulay代数的新函子性质。
• 使用扩张Rees代数与Veronese子代数，分析Kollár分量背景下分歧与对偶拉回的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过完美oid大Cohen-Macaulay代数定义混合特征下PLT奇点与对偶理想的类比？
• RQ2 在混合特征下，BCM-正则性与BCM测试理想是否满足伴随的逆关系？
• RQ3 新定义的对偶理想与奇点与等特征（PLT）及正特征（$F$-正则）下的对应物相比如何？
• RQ4 能否利用该框架在混合特征下建立统一的Briançon-Skoda定理？
• RQ5 当剩余特征 $p > 5$ 时，二维KLT奇点是否为BCM-正则的？其对三维三叉PLT对偶对有何后果？

主要发现

• 本文在混合特征下为新定义的纯BCM-正则奇点建立了伴随关系与伴随的逆关系。
• 通过伴随理想构造，在混合特征下证明了Briançon-Skoda定理的统一版本。
• 当剩余特征 $p > 5$ 时，二维KLT奇点被证明是BCM-正则的，这表明在相同条件下，三维PLT对偶对的对偶中心是正规的。
• 对偶理想 $\operatorname{adj}_{B\to C}^D(R,\Delta+D)$ 满足预期的伴随公式，并在限制下表现良好。
• 该框架提供了新对偶理想与源自双有理几何及$F$-正则奇点的对偶理想之间的比较，表明在已知情形下具有相容性。
• 附录中给出了完美oid大Cohen-Macaulay代数的简化构造，并利用完美oid化函子证明了新的函子性质。