[论文解读] An analogue of Fekete's lemma for subadditive functions on cancellative amenable semigroups

Tullio Ceccherini‐Silberstein, Fabrice Krieger+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文在可约左可约半群的有限子集上，为次可加且右不变函数建立了Fekete引理的类比，证明了归一化函数值会收敛到一个与Følner网选择无关的极限。其关键贡献是将经典次可加性结果从序列推广到半群作用，从而在这一推广设定下定义了拓扑与测度论意义上的平均维数和熵。

ABSTRACT

We prove an analogue of Fekete's lemma for subadditive right-subinvariant functions defined on the finite subsets of a cancellative left-amenable semigroup. This extends results previously obtained in the case of amenable groups by E. Lindenstrauss and B. Weiss and by M. Gromov.

研究动机与目标

• 将Fekete引理从序列推广至可约左可约半群的有限子集上的次可加、右不变函数。
• 建立在左Følner网下，归一化次可加函数极限的存在性与不变性。
• 将该结果应用于动力系统中，定义拓扑与测度论意义上的平均维数和熵。
• 将Lindenstrauss、Weiss与Gromov的先前结果，从可约群推广至可约可约半群。

提出的方法

• 在可约左可约半群的有限子集上定义一个次可加、右不变函数。
• 利用左Følner网刻画函数在归一化下的渐近行为。
• 通过可约性与可约性的性质，证明归一化函数值收敛到一个与网选择无关的极限。
• 通过开覆盖与可测划分，将收敛结果应用于拓扑与测度论设定。
• 建立拓扑平均维数的存在性，其为有限开覆盖上归一化熵的上确界。
• 利用极限在不同Følner网下不变的性质，确保熵与维数定义的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Fekete引理是否可推广至可约左可约半群上次可加、右不变函数？
• RQ2 此类函数的归一化值是否收敛到一个与Følner网选择无关的极限？
• RQ3 该推广的Fekete型结果如何应用于半群上动力系统的平均维数与熵的定义？
• RQ4 在可约左可约半群中，归一化次可加函数的极限是否在不同Følner网下保持不变？
• RQ5 该推广的Fekete引理与现有可约群作用下的熵与维数理论之间有何关系？

主要发现

• 在可约左可约半群的有限子集上，归一化次可加、右不变函数的极限存在且有限。
• 该极限与左Følner网的选择无关，确保了渐近值的稳健性。
• 该结果使得拓扑平均维数可定义为有限开覆盖上归一化熵的上确界。
• 测度论熵（Kolmogoroff-Sinai熵）可定义为有限可测划分上归一化熵的上确界。
• 在半群的可约性与左可约性联合假设下，极限的收敛性与不变性成立。
• 该框架将先前针对可约群的结果推广至可约可约半群，扩展了平均维数与熵理论的适用范围。