[论文解读] Free Subshifts with Invariant Measures from the Lovász Local Lemma

Anton Bernshteyn|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文使用可测洛瓦兹局部引理（measurable Lovász Local Lemma）提供了一个简洁证明，表明每个可数无限群都存在一个在二元字母表 {0,1}^Γ 上的自由子移位，且该子移位支持一个不变概率测度。该构造确保此类子移位存在于任意非空不变开集中，并可避开任意给定的真子移位，从而通过概率组合方法提供了一种强大且通用的构造不变测度于自由子移位的途径。

ABSTRACT

Gao, Jackson, and Seward (see arXiv:1201.0513) proved that every countably infinite group $Γ$ admits a nonempty free subshift $X \subseteq \{0,1\}^Γ$. Furthermore, a theorem of Seward and Tucker-Drob (see arXiv:1402.4184) implies that every countably infinite group $Γ$ admits a free subshift $X \subseteq \{0,1\}^Γ$ that supports an invariant probability measure. Aubrun, Barbieri, and Thomassé (see arXiv:1507.03369) used the Lovász Local Lemma to give a short alternative proof of the Gao--Jackson--Seward theorem. Recently, Elek (see arXiv:1702.01631) followed another approach involving the Lovász Local Lemma to obtain a different proof of the existence of free subshifts with invariant probability measures for finitely generated sofic groups. Using the measurable version of the Lovász Local Lemma for shift actions established by the author (see arXiv:1604.07349), we give a short alternative proof of the existence of such subshifts for arbitrary groups. Moreover, we can find such subshifts in any nonempty invariant open set.

研究动机与目标

• 为任意可数无限群存在具有不变概率测度的自由子移位提供一个简短且通用的证明。
• 通过洛瓦兹局部引理将 Aubrun-Barbieri-Thomassé 的证明扩展至包含不变测度的情形。
• 证明此类子移位可被构造为与任意给定的真子移位不相交。
• 证明该方法可在 {0,1}^Γ 的任意非空不变开子集内有效运作。
• 利用可测版本的 LLL 于移位作用，以同时实现不变性与自由性。

提出的方法

• 对 {0,1}^Γ 上的群 Γ 的移位作用应用可测洛瓦兹局部引理（mLLL），以构造约束系统的解。
• 在群 Γ 上定义 LLL 的一个实例 B，将来自真子移位 Y 的约束与来自非平凡群元素的约束相结合，以强制实现自由性。
• 通过为有限域 S ∈ dom(B) 分配概率 p(S) 构造一个正确的实例 B，确保 LLL 条件 (2.1) 成立。
• 采用两部分概率分配：对基础约束集 B₀ 使用 1/k²N²，对来自群元素 γₙ 的约束使用 aⁿ⁺ᴹ。
• 通过选择足够大的 N 和 M，以及利用无穷乘积的收敛性，确保 LLL 不等式中的乘积项充分衰减。
• 验证解集 Sol(B) 非空、闭、不变、自由，且与给定的真子移位 Y 不相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用概率方法统一证明所有可数无限群均存在具有不变测度的自由子移位？
• RQ2 是否可能在 {0,1}^Γ 的任意非空不变开子集中构造此类子移位？
• RQ3 能否在保持不变性与自由性的同时，使构造避开给定的真子移位？
• RQ4 如何有效应用可测 LLL 于移位作用，以同时确保测度不变性与自由性？
• RQ5 在无限群设定下，何种概率分配条件可确保 LLL 条件成立？

主要发现

• 本文确立了对于任意可数无限群 Γ，存在一个闭、不变、自由的子移位 X ⊆ {0,1}^Γ，且该子移位支持一个不变概率测度。
• 此类子移位可被构造于 {0,1}^Γ 的任意非空不变开子集中，从而确保了强大的拓扑灵活性。
• 该构造显式避开了任意给定的真子移位 Y ⊊ {0,1}^Γ，表明自由不变子移位可存在于此类真子集之外。
• 证明依赖于一个正确构造的 LLL 实例，其概率分配 p(S) 经过精心选择，使得对所有有限域均满足 LLL 条件 (2.1)。
• 该方法通过控制无穷乘积的衰减，确保解集 Sol(B) 非空、闭、不变且自由，从而满足 LLL 不等式。
• 该结果推广了 Aubrun、Barbieri 和 Thomassé 以及 Elek 的先前构造，统一了所有可数群上自由子移位上不变测度的存在性。