[论文解读] An analogue of Radford's S^4 formula for finite tensor categories

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 14

一句话总结

本文通过引入一个特殊可逆对象 $D$ 并构造一个自然的张量同构 $ \delta: V^{**} \cong D \otimes V^{**} \otimes D^{-1}$，将 Radford 的 $S^4$ 公式推广到有限张量范畴的范畴化情形，证明了张量范畴理论中一个长期存在的猜想。该结果将已知的霍普夫代数与准霍普夫代数的公式推广至抽象范畴设定，适用于幺模性、可因子性及有 braided 范畴中的球面对称性。

ABSTRACT

We develop the theory of Hopf bimodules for a finite rigid tensor category C. Then we use this theory to define a distinguished invertible object D of C and an isomorphism of tensor functors ?^{**} and D tensor ^{**}? tensor D^{-1}. This provides a categorical generalization of D. Radford's S^4-formula for finite dimensional Hopf algebras and its generalizations for weak Hopf algebras and for quasi-Hopf algebras, and conjectured in general in \cite{EO}. When C is braided, we establish a connection between the above isomorphism and the Drinfeld isomorphism of C. We also show that a factorizable braided tensor category is unimodular (i.e., D=1). Finally, we apply our theory to prove that the pivotalization of a fusion category is spherical, and give a purely algebraic characterization of exact module categories.

研究动机与目标

• 将有限维霍普夫代数的 Radford $S^4$ 公式推广至有限刚性张量范畴的设定。
• 在有限张量范畴 $\mathcal{C}$ 中定义并构造一个特殊可逆对象 $D$，其作用类似于霍普夫代数中的特殊群点元素。
• 建立一个自然的张量同构 $\delta: V^{**} \cong D \otimes V^{**} \otimes D^{-1}$，提供 $S^4$-映射的范畴类比。
• 证明可因子化 braided 张量范畴是幺模的，即 $D \cong \mathbf{1}$，从而推广了 (准) 霍普夫代数的已知结果。
• 通过纯代数方法证明融合范畴的提升范畴是球面对称的。

提出的方法

• 将 $\mathcal{C}$ 上的霍普夫双模范畴 $\mathcal{H}$ 定义为 $\mathcal{C} \boxtimes \mathcal{C}^{\text{op}}$ 中代数 $A = \underline{\text{Hom}}(\mathbf{1}, \mathbf{1})$ 的右模范畴。
• 为 $\mathcal{H}$ 赋予张量范畴结构，并建立张量等价 $\mathcal{C} \cong \mathcal{H}$，推广了霍普夫双模的基本定理。
• 通过同构 $A^* \cong (D \boxtimes \mathbf{1}) \otimes A$ 定义特殊可逆对象 $D$，方法仿照准霍普夫代数理论。
• 利用霍普夫双模理论与张量函子，构造自然同构 $\delta: ?^{**} \cong D \otimes ?^{**} \otimes D^{-1}$。
• 在 braided 范畴中，将 $\delta$ 与 Drinfeld 同构 $u: ? \cong ?^{**}$ 联系起来，证明在幺模情形下有 $\delta = u^{-1} \circ u^*$。
• 在半单情形下，通过 Müger 的单个对象的平方范数表达 $\delta$，实现其数值刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏如霍普夫代数等底层代数结构的情况下，Radford 的 $S^4$ 公式是否可推广至有限张量范畴？
• RQ2 在有限张量范畴中，哪个范畴对象扮演着特殊群点元素的角色？
• RQ3 对偶函子 $**$ 的四次幂与与特殊可逆对象 $D$ 的张量积之间有何关系？
• RQ4 可因子化 braided 张量范畴是否必然为幺模的，即是否成立 $D \cong \mathbf{1}$？
• RQ5 融合范畴的提升是否为球面对称的，且能否在不依赖特征假设的前提下通过代数方法证明？

主要发现

• 本文通过构造自然张量同构 $\delta: V^{**} \cong D \otimes V^{**} \otimes D^{-1}$，其中 $D$ 为范畴 $\mathcal{C}$ 的特殊可逆对象，证明了 [EO] 中的猜想 2.15，从而将 Radford 的 $S^4$ 公式推广至有限张量范畴。
• 本文定义的特殊对象 $D$ 与 [EO, 定义 2.12] 中的一致，确认了与先前范畴定义的一致性。
• 在 braided 有限张量范畴中，若 $\mathcal{C}$ 为可因子化，则 $D \cong \mathbf{1}$，即 $\mathcal{C}$ 为幺模的，从而推广了 (弱、准) 霍普夫代数的结果。
• 在幺模情形下，同构 $\delta$ 满足 $\delta = u^{-1} \circ u^*$，其中 $u: ? \cong ?^{**}$ 为 Drinfeld 同构。
• 在半单情形下，$\delta$ 可通过 Müger 的单个对象的平方范数进行数值刻画，且该刻画表明 $\mathcal{C}$ 的提升范畴是球面对称的。
• 本文提供了精确模范畴的代数刻画：范畴 $\mathcal{C}$ 上的模范畴 $\mathcal{M}$ 是精确的，当且仅当代数 $H = \text{End}(\bar{F})$ 是 $B \otimes B^\circ$-模的投射模，其中 $B$ 是实现 $\mathcal{M} \cong B$-mod 的代数。