[论文解读] Integral Theory for Quasi-Hopf Algebras

Frank Haußer, Florian Nill|ArXiv.org|Apr 29, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 91

一句话总结

本文将Larson-Sweedler关于霍普夫模的结构定理推广至拟霍普夫代数，建立了有限维拟霍普夫代数中积分的存在性与唯一性（至多相差一个标量因子）。文中引入了拟霍普夫代数对偶空间上的余积分，证明其非退化性（从而代数为弗罗贝尼乌斯代数），并将该理论应用于证明对角交叉积的马什克型定理，包括量子双代数。

ABSTRACT

We generalize the fundamental structure Theorem on Hopf (bi)-modules by Larson and Sweedler to quasi-Hopf algebras H. If H is finite dimensional this proves the existence and uniqueness (up to scalar multiples) of integrals in H. Among other applications we prove a Maschke type Theorem for diagonal crossed products as constructed by the authors.

研究动机与目标

• 将霍普夫模的基本结构定理推广至拟霍普夫代数。
• 在有限维拟霍普夫代数中建立积分的存在性与唯一性。
• 发展拟霍普夫代数对偶空间上的余积分理论。
• 证明对角交叉积 $A\bowtie\hat{H}$ 的马什克型定理，包括量子双代数 $D(H)$。
• 推广拉德福德公式，并在拟霍普夫设定下刻画半单性与无模性。

提出的方法

• 将霍普夫双模的Larson-Sweedler结构定理推广至拟霍普夫双模。
• 在有限维 $H$ 的对偶空间 $\hat{H}$ 上构造一个拟霍普夫 $H$-双模结构，从而导出同构 $\hat{H} \cong \mathcal{L} \otimes H$。
• 将余积分定义为一维子空间 $\mathcal{L} \subset \hat{H}$ 中的元素，并证明其非退化性，从而推出弗罗贝尼乌斯性质。
• 通过余积分引入傅里叶变换，推广霍普夫代数情形。
• 利用余积分与模自同态刻画半单与无模拟霍普夫代数。
• 使用余中心双线性形式刻画余积分，并证明当 $H$ 为半单且无模并具有归一化余积分时，$D(H)$ 是半单的。

实验结果

研究问题

• RQ1 Larson-Sweedler关于霍普夫模的结构定理是否可推广至拟霍普夫代数？
• RQ2 有限维拟霍普夫代数是否具有积分，且其唯一性是否在标量因子意义下成立？
• RQ3 对偶空间 $\hat{H}$ 上的余积分理论是否可用于证明弗罗贝尼乌斯性质与半单性？
• RQ4 在何种条件下，对角交叉积 $A\bowtie\hat{H}$ 是半单的？
• RQ5 当 $H$ 为半单且无模时，量子双代数 $D(H)$ 是否为半单的？

主要发现

• 对于有限维拟霍普夫代数，积分存在且在标量因子意义下唯一，推广了霍普夫代数情形。
• 对偶空间 $\hat{H}$ 具备拟霍普夫 $H$-双模结构，从而导出同构 $\hat{H} \cong \mathcal{L} \otimes H$，其中 $\mathcal{L}$ 为余积分的一维空间。
• 每个非零余积分均为非退化，意味着每个有限维拟霍普夫代数均为弗罗贝尼乌斯代数。
• 对角交叉积 $A\bowtie\hat{H}$ 满足马什克型定理，当 $H$ 为半单且无模并具有归一化余积分时，$D(H)$ 为半单。
• 在推论8.3的条件下，量子双代数 $D(H)$ 为半单，且其哈尔积分由 $\beta \rightharpoonup \lambda_0 \bowtie e$ 给出。