[论文解读] An Analysis of the Quasi-Nonlocal Quasicontinuum Approximation of the Embedded Atom Model

Xingjie Helen Li, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2010

Microstructure and mechanical properties参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文针对具有次近邻相互作用的一维嵌入原子模型（EAM）中的拟非局部非连续元（QNL）方法进行分析。它建立了对成对势、电子密度函数和嵌入函数的条件，以确保原子模型与EAM-QNL模型之间渐近等价的晶格稳定性，并利用负范数误差估计方法，推导出连续区域中应变误差的最优O(ε³/²)收敛率。

ABSTRACT

The quasi-nonlocal quasicontinuum method (QNL) is a consistent hybrid coupling method for atomistic and continuum models. Embedded atom models are empirical many-body potentials that are widely used for FCC metals such as copper and aluminum. In this paper, we consider the QNL method for EAM potentials, and we give a stability and error analysis for a chain with next-nearest neighbor interactions. We identify conditions for the pair potential, electron density function, and embedding function so that the lattice stability of the atomistic and the EAM-QNL models are asymptotically equal.

研究动机与目标

• 开发一种一致的非连续元方法用于嵌入原子模型（EAM），以消除均匀应变下的鬼力效应。
• 分析具有次近邻相互作用的一维链中EAM-QNL近似的稳定性与收敛性。
• 确定EAM势各组成部分（成对势、电子密度、嵌入函数）的条件，以确保原子模型与QNL模型之间晶格稳定性渐近等价。
• 利用负范数估计方法，推导出连续区域中应变误差的最优收敛率。

提出的方法

• 为嵌入原子模型（EAM）构建一维拟非局部非连续元（QNL）能量，将QNL框架扩展至多体势。
• 采用线性化模型分析稳定性与收敛性，能量通过基于Cauchy–Born法则的一致原子区与连续区耦合方式定义。
• 应用负范数估计技术，以界定原子模型与QNL模型之间的一致性误差，从而实现最优误差估计。
• 通过离散傅里叶分析与基于能量的范数，推导稳定性估计，确保模型在晶格失稳附近仍保持适定性。
• 在ℓ²₆范数下引入应变误差估计，表明收敛率取决于连续区域中应变的光滑性。
• 通过Hessian的谱分析，建立EAM-QNL模型与全原子模型保持相同晶格稳定性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，成对势、电子密度函数与嵌入函数可使EAM-QNL模型的晶格稳定性渐近等价于全原子模型？
• RQ2 QNL方法在EAM势中能否在晶格失稳（如裂纹扩展）附近实现应变误差的最优收敛率？
• RQ3 原子模型与QNL模型之间的一致性误差如何随晶格间距ε变化？能否利用负范数技术进行有界估计？
• RQ4 违反所识别的稳定性条件对QNL近似精度与稳定性有何影响？

主要发现

• 若成对势、电子密度函数与嵌入函数满足特定光滑性与曲率条件，则EAM-QNL模型的晶格稳定性渐近等价于全原子模型。
• 原子模型与EAM-QNL模型之间的应变误差在ℓ²₆范数下以最优速率O(ε³/²)收敛，且仅依赖于连续区域中应变的光滑性。
• 通过负范数估计方法界定了一致性误差，所得误差估计在晶格失稳（如缺陷形成）附近依然成立。
• 若违反稳定性条件，可能导致EAM-QNL模型的稳定性低于局部非连续元（EAM-QCL）模型，表明所推导条件的必要性。
• 在线性化EAM-QNL模型中，当满足条件ÂF + ȚF > 0时，证明了唯一解的存在性，确保了线性化系统的适定性。
• 该分析将先前针对成对势的结果推广至EAM情形，表明QNL方法可被扩展至多体势，且保持可控的误差与稳定性。