[论文解读] An Approach to Discrete Quantum Gravity

Stanley Gudder|arXiv (Cornell University)|May 22, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于因果集的量子序贯生长过程（QSGP）的离散量子引力统一框架，其中路径希尔伯特空间和量子测度由满足一致性条件的正算子涌现。关键贡献是通过曲率算子构建爱因斯坦场方程的离散类比，其量子测度空间统一了离散广义相对论与量子场论，并在经典极限下，仅在多生产者因果集的特定非普遍条件下曲率才消失。

ABSTRACT

This article presents a simplified version of the author's previous work. We first construct a causal growth process (CGP). We then form path Hilbert spaces using paths of varying lengths in the CGP. A sequence of positive operators on these Hilbert spaces that satisfy certain normalization and consistency conditions is called a quantum sequential growth process (QSGP). The operators of a QSGP are employed to define natural decoherence functionals and quantum measures. These quantum measures are extended to a single quantum measure defined on a suitable collection of subsets of a space of all paths. Continuing our general formalism, we define curvature operators and a discrete analogue of Einstein's field equations on the Hilbert space of causal sets. We next present a method for constructing a QSGP using an amplitude process (AP). We then consider a specific AP that employs a discrete analogue of a quantum action. Finally, we consider the special case in which the QSGP is classical. It is pointed out that this formalism not only gives a discrete version of general relativity, there is also emerging a discrete analogue of quantum field theory. We therefore have discrete versions of these two theories within one unifying framework.

研究动机与目标

• 通过用量子序贯生长过程（QSGP）替代经典序贯生长过程，发展一种简化且直接的离散量子引力公式。
• 利用路径希尔伯特空间上的一致、归一化的正算子，在因果集路径空间上定义量子测度空间。
• 通过因果集希尔伯特空间上的曲率算子，构建爱因斯坦场方程的离散类比。
• 通过QSGP和振幅过程，在单一形式体系中统一离散广义相对论与离散量子场论。
• 分析QSGP的经典极限，确定曲率算子消失的条件。

提出的方法

• 从有限因果集（causets）构建因果生长过程（CGP），其中每个causet通过添加一个唯一的极大元素而增长。
• 从CGP中长度为 $ n $ 的 $ n $-路径定义路径希尔伯特空间 $ H_n = L_2(\Omega_n) $，形成可测空间 $ (\Omega, \mathcal{A}) $。
• 将量子序贯生长过程（QSGP）定义为作用于 $ H_n $ 上的一系列正算子 $ \rho_n $，满足归一化和一致性条件。
• 定义退相干泛函 $ D_n(A,B) $ 和量子测度 $ \mu_n(A) = D_n(A,A) $，并将其扩展为在合适集合 $ \mathcal{S}(\Omega) \subseteq \mathcal{A} $ 上的全局量子测度 $ \mu $。
• 在 $ L_2(\mathcal{P}) \otimes L_2(\mathcal{P}) $ 上定义曲率算子 $ \mathcal{R}_{\omega,\omega'} $，以模拟离散时空曲率。
• 通过振幅过程（APs），包括离散量子作用量，构建QSGPs，以生成物理上合理的跃迁振幅。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一系列正、归一化且一致的算子，在因果集路径空间上构造出一致的量子测度空间？
• RQ2 如何通过因果集希尔伯特空间上的曲率算子，定义爱因斯坦场方程的离散类比？
• RQ3 在QSGP的经典极限下，曲率算子在何种条件下消失？
• RQ4 QSGP形式体系能否在单一框架内统一离散广义相对论与离散量子场论？
• RQ5 曲率算子的消失对量子测度施加了何种约束，特别是针对多生产者因果集？

主要发现

• 量子测度 $ \mu $ 在合适集合的集合 $ \mathcal{S}(\Omega) $ 上是良定义的，其中 $ \mu(A) = \lim_{n \to \infty} \mu_n(A^n) $ 存在。
• 当且仅当所有具有多个生产者的causet $ x $ 满足 $ \mu(x) = 0 $ 时，曲率算子 $ \widehat{\mathcal{R}}_{\omega,\omega'} = 0 $ 对所有 $ \omega, \omega' \in \Omega $ 成立。
• 算子 $ \mathcal{T}_{\omega,\omega'} $ 对所有 $ \omega, \omega' \in \Omega $ 非零，意味着在经典极限下 $ \mathcal{R}_{\omega,\omega'} \neq 0 $，因此时空曲率不能普遍消失。
• 在概率测度下，所有具有多个后代的 $ x $ 满足 $ \mu(x) = 0 $ 的条件不可能成立，因此 $ \mathcal{T}_{\omega,\omega'} \neq 0 $ 恒成立。
• 在经典极限下，仅当所有具有多个生产者的 $ x $ 满足 $ \mu(x) = 0 $ 时，才有 $ \mathcal{D}_{\omega,\omega'} = 0 $，而这是非普遍的条件。
• 该形式体系通过基于QSGP和振幅过程的单一量子测度框架，成功统一了离散广义相对论与离散量子场论。