[论文解读] An Approximation Algorithm for Risk-averse Submodular Optimization

Lifeng Zhou, Pratap Tokekar|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 16

一句话总结

本文提出顺序贪心算法（SGA）用于在不确定性下进行风险规避的子模优化，采用条件风险价值（CVaR）作为风险度量。该方法提供了与最优解相关的加法误差项的常数因子近似保证，利用子模函数的曲率和拟阵约束，并证明了在机器人应用（如按需移动和传感器选择）中的组合决策具有多项式时间复杂度。

ABSTRACT

We study the problem of incorporating risk while making combinatorial decisions under uncertainty. We formulate a discrete submodular maximization problem for selecting a set using Conditional-Value-at-Risk (CVaR), a risk metric commonly used in financial analysis. While CVaR has recently been used in optimization of linear cost functions in robotics, we take the first stages towards extending this to discrete submodular optimization and provide several positive results. Specifically, we propose the Sequential Greedy Algorithm that provides an approximation guarantee on finding the maxima of the CVaR cost function under a matroidal constraint. The approximation guarantee shows that the solution produced by our algorithm is within a constant factor of the optimal and an additive term that depends on the optimal. Our analysis uses the curvature of the submodular set function, and proves that the algorithm runs in polynomial time. This formulates a number of combinatorial optimization problems that appear in robotics. We use two such problems, vehicle assignment under uncertainty for mobility-on-demand and sensor selection with failures for environmental monitoring, as case studies to demonstrate the efficacy of our formulation.

研究动机与目标

• 为通过超越期望效用的风险规避决策，解决不确定性下的组合优化问题。
• 将基于CVaR的优化从线性函数扩展到机器人场景中的离散子模函数。
• 为在拟阵约束和CVaR风险度量下，开发一种具有理论近似保证的高效算法，用于子模最大化。
• 通过按需移动和环境监测中的案例研究，展示方法的有效性。

提出的方法

• 将风险规避的子模优化问题建模为以条件风险价值（CVaR）作为目标函数的优化问题。
• 提出顺序贪心算法（SGA），通过在CVaR阈值的离散时间区间内迭代评估候选解。
• 在每个时间区间内采用贪心选择策略，以最大化归一化的子模函数，并利用曲率来限制近似误差。
• 对CVaR阈值范围采用离散化方案，步长为Δ，以近似连续优化问题。
• 使用预言机通过n_s个随机变量y的实现进行蒙特卡洛采样，以估计CVaR值。
• 利用子模函数曲率kf推导理论边界，表明解在最优解的(1 + kf)倍之内，外加一个加法误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 CVaR能否在不确定性下的机器人离散子模优化问题中有效应用？
• RQ2 在拟阵约束下，最大化单调子模函数的CVaR时，可实现何种近似保证？
• RQ3 子模函数的曲率如何影响所提算法的近似比？
• RQ4 该算法能否在保持理论性能保证的同时，以多项式时间高效实现？
• RQ5 在车辆分配和传感器选择等风险规避场景中，该方法与基于期望的优化相比表现如何？

主要发现

• 顺序贪心算法（SGA）的近似比为(1 + kf)⁻¹倍最优CVaR值，外加一个kfΓ(1/α − 1)的加法误差项，其中kf为子模函数的曲率。
• 该算法运行时间复杂度为多项式时间，具体为O(⌈Γ/Δ⌉|X|²ns)，其中|X|为基集大小，ns为蒙特卡洛采样次数，Γ为随机变量的上界。
• 该近似保证适用于一般拟阵约束，使算法可应用于基数约束、连通性约束及其他组合约束。
• 案例研究显示，SGA在风险规避场景下优于基于期望的方法：例如，在平均时间较高但尾部分布风险较低的车辆中进行选择。
• 理论分析证实，当底层函数f(S,y)在S上为单调子模且在y上可积时，CVaR目标函数为子模且单调。
• 该方法能有效处理传感器性能和机器人行驶时间的不确定性，在环境监测和按需移动应用中表现出强鲁棒性。