[论文解读] An arithmetic invariant theory of curves from $E_8$

Avinash Kulkarni|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了具有有理分支点的唯一三线性亏格4曲线的雅可比簇的2挠子群元素与特定代数群 $E_8$ 的分裂伴随群在某一特定几何体上作用的轨道之间的对应关系。通过算术不变量理论的技术，该文将此前针对 $E_7$ 和双亏格曲线的结果推广，为在特征0下通过 $E_8$-表示研究此类曲线上的有理点，提供了一个典范的、不变量理论框架。

ABSTRACT

Let $k$ be a field of characteristic 0, let $C/k$ be a uniquely trigonal genus 4 curve, and let $P \in C(k)$ be a simply ramified point of the uniquely trigonal morphism. We construct an assignment of an orbit of an algebraic group of type $E_8$ acting on a specific variety to each element of $J_C(k)/2$. The algebraic group and variety are independent of the choice of $(C,P)$. We also construct a similar identification for uniquely trigonal genus 4 curves $C$ with $P \in C(k)$ a totally ramified point of the trigonal morphism. Our assignments are analogous to the assignment of a genus 3 curve with a rational point $(C,P)$ to an orbit of an algebraic group of type $E_7$ exhibited by Jack Thorne. Our assignment is also analogous to one constructed by Bhargava and Gross, who use it determine average ranks of hyperelliptic Jacobians.

研究动机与目标

• 将算术不变量理论推广至具有有理分支点的三线性亏格4曲线，利用 $E_8$-表示。
• 将杰克·索恩（Jack Thorne）基于 $E_7$ 的平面上四次曲线对应关系推广至 $E_8$ 情形。
• 为 $J_C(k)/2$ 中的每个元素构建一个与 $E_8$ 关联的代数群 $G$ 在某一几何体上的 $G(k)$-轨道的典范映射，且该映射不依赖于曲线的选择。
• 提供一个类似于 Bhargava 与 Gross 对双亏格曲线的工作的框架，但适用于三线性曲线。
• 为未来研究该族中 Selmer 群平均大小奠定基础。

提出的方法

• 采用索恩的方法，通过 theta 群与标准元组的同构关系，从伽罗瓦上同调构造 $G(k)$-轨道。
• 利用 Weil 配对与 $E_8$ 型格 $\Lambda$，将 $J_C[2] \cong \Lambda/2\Lambda$ 识别为 $k$-群。
• 在 $k^{\mathrm{sep}}$ 上，构造一个关于点 $A \in J_C(k)$ 及其满足 $[2]B = A$ 的2挠子群提升 $B$ 的 theta 群之间的典范同构。
• 通过伽罗瓦作用在同构 $F$ 上的上同调构造，将像识别为 $[B^\sigma - B]$，从而与上同调建立联系。
• 利用典范同构 $\operatorname{Hom}(\Lambda, \mathbb{G}_m)^{\mathrm{rss}}(k) \to T_0(k)$，通过 $\varphi_0^{-1}(\kappa_C^0)$ 定义 $X_x(k)$ 中的 $G(k)$-轨道。
• 建立 $G(k)\backslash X_x(k)$ 与 $H^1(k, Z_G(\varphi_0^{-1}(\kappa_C^0)))$ 之间的双射，该双射通过 $J_C(k)/2$ 映射至 $H^1(k, J_C[2])$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以类似于 $E_7$ 对平面上四次曲线的作用方式，通过 $E_8$-群轨道来编码具有有理分支点的唯一三线性亏格4曲线的算术性质？
• RQ2 此类曲线的雅可比簇的2-Selmer群与 $E_8$-表示的轨道结构有何关系？
• RQ3 是否存在一个典范的、关于 $k$-无关的映射，将 $J_C(k)/2$ 中的元素分配给与 $E_8$ 关联的几何体上的 $G(k)$-轨道？
• RQ4 Weil 配对与 theta 群同构在 $k^{\mathrm{sep}}$ 上构造该对应关系中起什么作用？
• RQ5 该构造如何将 Bhargava 与 Gross 对双亏格曲线的工作推广至非双亏格族？

主要发现

• 本文构造了一个典范的、关于 $k$-无关的映射，将 $J_C(k)/2$ 中的每个元素映射至与 $E_8$ 关联的代数群 $G$ 在某一几何体 $X_x$ 上的 $G(k)$-轨道。
• 该映射是单射的，并通过余边界映射 $\delta: J_C(k)/2 \to H^1(k, J_C[2])$ 因子分解，从而建立起上同调联系。
• 由于在 $k^{\mathrm{sep}}$ 上存在典范同构，该轨道构造不依赖于有理点 $P$ 或满足 $[2]B = A$ 的提升 $B$ 的选择。
• 从 $J_C(k)/2$ 到 $G(k)\backslash X_x(k)$ 的映射通过伽罗瓦上同调 $\sigma \mapsto F^{-1}F^\sigma$ 实现，其中 $F$ 由 theta 群的同构诱导。
• 该构造将索恩针对亏格3曲线的 $E_7$-基础对应关系推广至亏格4三线性曲线的 $E_8$-情形。
• 该方法为未来研究此类雅可比簇的2-Selmer群平均大小提供了可计算或可界定的框架。