[论文解读] Most hyperelliptic curves over Q have no rational points

Manjul Bhargava|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 32

一句话总结

该论文证明了随着定义在 $ \mathbb{Q} $ 上的超椭圆曲线的亏格 $ g $ 增大，其无有理点的密度趋近于 100%，具体为 $ \rho_g = 1 - o(2^{-g}) $。证明利用了有理点与表示 $ \mathbb{Z}^2 \otimes \mathrm{Sym}_2\mathbb{Z}^n $ 中整数轨道之间的一种新颖联系，结合几何数论的计数方法，表明对于大多数二元型，此类轨道极为稀少，从而确立了布饶尔–曼因障碍是导致有理点缺失的主要原因。

ABSTRACT

By a hyperelliptic curve over Q, we mean a smooth, geometrically irreducible, complete curve C over Q equipped with a fixed map of degree 2 to P^1 defined over Q. Thus any hyperelliptic curve C over Q of genus g can be embedded in weighted projective space P(1,1,g+1) via an equation of the form C : z^2 = f(x,y) = f_0 x^n + f_1 x^{n-1} y + ... + f_n y^n where n=2g+2, the coefficients f_i lie in Z, and f factors into distinct linear factors over Q-bar. Define the height H(C) of C by H(C):=max{|f_i|}, and order all hyperelliptic curves over Q of genus g by height. Then we prove that, as g tends to infinity: 1) a density approaching 100% of hyperelliptic curves of genus g have no rational points; 2) a density approaching 100% of those hyperelliptic curves of genus g that have points everywhere locally fail the Hasse principle; and 3) a density approaching 100% of hyperelliptic curves of genus g have empty Brauer set, i.e., have a Brauer-Manin obstruction to having a rational point. We also prove positive proportion results of this type for individual genera, including g = 1.

研究动机与目标

• 确定当 $ g \to \infty $ 时，定义在 $ \mathbb{Q} $ 上亏格为 $ g $ 的超椭圆曲线中无有理点的渐近密度。
• 确立这些曲线中哈塞原理失效的主要原因是布饶尔–曼因障碍。
• 分析虚假 2-塞尔默集的平均大小，并证明其随亏格指数衰减，从而将其与有理点障碍联系起来。
• 通过证明在高亏格下，无有理点的现象并非例外而是普遍现象，从而推广法尔廷斯定理。

提出的方法

• 在超椭圆曲线 $ z^2 = f(x,y) $ 上的有理点与 $ \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) $ 在 $ \mathbb{Z}^2 \otimes \mathrm{Sym}_2\mathbb{Z}^n $ 上作用的整数轨道之间建立对应关系，其中不变的二元 $ n $-次型为 $ f $。
• 使用几何数论技术，统计具有给定不变型 $ f $ 的此类轨道数量，表明对大多数 $ f $，此类轨道均不存在。
• 将虚假 2-塞尔默集定义为参数化曲线局部可解的 2-覆叠的有限集合，并证明该集合的元素也对应于此类轨道。
• 证明在亏格 $ g $ 的超椭圆曲线上，虚假 2-塞尔默集的平均大小为 $ o(2^{-g}) $，意味着大多数曲线不存在此类覆叠。
• 利用虚假 2-塞尔默集为空时存在布饶尔–曼因障碍的事实，并证明该障碍是导致大多数曲线上哈塞原理失效的原因。
• 分析平均 2-塞尔默大小公式（47）中的局部因子，表明当 $ g \geq 2 $ 时，这些因子严格小于其理论最大值，从而说明平均大小小于 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ g \to \infty $ 时，定义在 $ \mathbb{Q} $ 上亏格为 $ g $ 的超椭圆曲线中，无有理点的渐近密度是多少？
• RQ2 布饶尔–曼因障碍在多大程度上解释了定义在 $ \mathbb{Q} $ 上的超椭圆曲线中哈塞原理的失效？
• RQ3 当 $ g \to \infty $ 时，亏格为 $ g $ 的超椭圆曲线的虚假 2-塞尔默集的平均大小如何变化？
• RQ4 几何数论方法能否用于证明大多数次数为 $ n = 2g+2 $ 的二元型不会作为 $ \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) $ 作用下的整数轨道的不变量出现？
• RQ5 在 $ g \geq 2 $ 时，有多少比例的局部可解超椭圆曲线因布饶尔–曼因障碍而失效哈塞原理？

主要发现

• 亏格 $ g $ 的超椭圆曲线在 $ \mathbb{Q} $ 上无有理点的下密度 $ \rho_g $ 满足 $ \rho_g = 1 - o(2^{-g}) $，意味着当 $ g \to \infty $ 时，该比例极快地趋近于 100%。
• 对于 $ g \geq 2 $，存在正比例的局部可解超椭圆曲线失效哈塞原理，其障碍源于布饶尔–曼因条件。
• 亏格 $ g $ 的超椭圆曲线的虚假 2-塞尔默集的平均大小为 $ o(2^{-g}) $，表明在大 $ g $ 时，此类集合通常为空。
• 当 $ g \geq 2 $ 时，局部可解超椭圆曲线的 2-塞尔默集的平均大小严格小于 1，这是由于局部因子（尤其是无穷远处）严格小于其理论最大值所致。
• 基于平均大小公式的粗略估计，当 $ g \geq 2 $ 时，失效哈塞原理的亏格 $ g \geq 2 $ 的超椭圆曲线比例超过 50%；当 $ g \geq 10 $ 时，该比例超过 99%。
• 存在正比例的亏格 1 曲线 $ z^2 = f(x,y) $ 在 $ \mathbb{Q} $ 上失效哈塞原理，这由其雅可比簇的根数论证得出，意味着对于正比例的此类曲线，2-塞尔默群大小不可能为 2。