[论文解读] An Arrow-Debreu Extension of the Hylland-Zeckhauser Scheme: Equilibrium Existence and Algorithms.

Jugal Garg, Thorben Tröbst+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文引入了 $ε$-近似 ADHZ 模型，作为单边匹配市场中 Hylland-Zeckhauser 方案的扩展，以解决原始模型中均衡不存在的问题。该文证明了在线性效用下 $ε$-近似均衡的存在性，为双值效用情况提供了组合式多项式时间算法，并识别出均衡不存在的条件，填补了单边匹配市场机制设计中的关键空白。

ABSTRACT

The Arrow-Debreu extension of the classic Hylland-Zeckhauser scheme for a one-sided matching market -- called ADHZ in this paper -- has natural applications but has instances which do not admit equilibria. By introducing approximation, we define the $\\epsilon$-approximate ADHZ model. We give the following results. * Existence of equilibrium for the $\\epsilon$-approximate ADHZ model under linear utility functions. The equilibrium satisfies Pareto optimality, approximate envy-freeness and incentive compatibility in the large. * A combinatorial polynomial time algorithm for an $\\epsilon$-approximate ADHZ equilibrium for the case of dichotomous, and more generally bi-valued, utilities. * An instance of ADHZ, with dichotomous utilities and a strongly connected demand graph, which does not admit an equilibrium. * A rational convex program for HZ under dichotomous utilities; a combinatorial polynomial time algorithm for this case was given by Vazirani and Yannakakis (2020). The $\\epsilon$-approximate ADHZ model fills a void, described in the paper, in the space of general mechanisms for one-sided matching markets.

研究动机与目标

• 解决原始 Arrow-Debreu 扩展的 Hylland-Zeckhauser (ADHZ) 方案在单边匹配市场中均衡不存在的问题。
• 在线性效用函数下建立 $ε$-近似均衡的存在性，确保帕累托最优性和近似公平性。
• 为双值效用情形设计一种基于组合方法的多项式时间算法，用于计算 $ε$-近似均衡。
• 识别出即使在需求图强连通的二元效用设定下，均衡仍可能不存在的条件。
• 通过引入一种稳健的近似均衡框架，弥合一般机制在单边匹配市场设计中的空白。

提出的方法

• 通过放松严格均衡条件以允许小偏差，引入 $ε$-近似 ADHZ 模型。
• 利用凸规划技术证明在线性效用下 $ε$-近似均衡的存在性，借助有理凸规划方法。
• 基于流分解和迭代改进设计一种组合算法，用于双值效用实例。
• 从参与者的偏好构建需求图，并分析其连通性以识别均衡不存在的情形。
• 将有理凸规划理论应用于二元效用下的 HZ 机制，实现多项式时间计算。
• 使用图论分析识别出一个具有二元效用和强连通需求图但不存均衡的反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有线性效用函数的 ADHZ 模型中，是否存在 $ε$-近似均衡？
• RQ2 能否为双值效用情形设计一种组合式多项式时间算法，用于计算 $ε$-近似均衡？
• RQ3 是否存在具有二元效用和强连通需求图的 ADHZ 模型实例，其不承认任何均衡？
• RQ4 $ε$-近似 ADHZ 模型在公平性和效率特性方面与原始 ADHZ 方案相比如何？
• RQ5 在二元效用下，HZ 机制能否通过有理凸规划求解，从而实现高效计算？

主要发现

• 在线性效用函数下，$ε$-近似 ADHZ 均衡存在，并满足帕累托最优性和近似公平性。
• 对于二元和双值效用情形，存在一种组合式多项式时间算法，可用于计算 $ε$-近似均衡。
• 构建了一个明确的 ADHZ 实例，其具有二元效用和强连通需求图，但不承认任何均衡。
• 在二元效用下，HZ 机制可被表述为有理凸规划，从而实现高效计算。
• $ε$-近似 ADHZ 模型提供了一个稳健的框架，填补了单边匹配市场机制设计中的关键空白。
• 该模型确保了大规模下的激励相容性，支持机制的战略鲁棒性。