[论文解读] An asymptotic thin shell condition and large deviations for multidimensional projections

Steven Soojin Kim, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用 12

一句话总结

本文在三种渐近情形下建立了高维随机向量在从Stiefel流形上的Haar测度中抽取的随机 $k_n$-维子空间上的随机投影的退火大偏差原理（LDP）：$k_n = k$ 为常数，$k_n \to \infty$ 且 $k_n/n \to 0$，以及 $k_n/n \to \lambda \in (0,1]$。研究推导了投影坐标的经验测度和缩放后的 $\ell_q$ 范数的大偏差原理，将先前结果从单变量情形和 $\ell_p^n$ 一类球体推广至多维情形。

ABSTRACT

Consider the projection of an $n$-dimensional random vector onto a random $k_n$-dimensional basis, $k_n \leq n$, drawn uniformly from the Haar measure on the Stiefel manifold of orthonormal $k_n$-frames in $\mathbb{R}^n$, in three different regimes as $n ightarrow \infty$: ($k_n=k$), ($k_n ightarrow \infty$ but $k_n/n ightarrow 0$) and $k_n/n ightarrow \lambda$ with $0 < \lambda \le 1$). When the sequence of random vectors satisfies a certain asymptotic condition, we establish annealed large deviation principles (LDPs) for the corresponding sequence of random projections in the constant regime, and for the sequence of empirical measures of the coordinates of the random projections in the sublinear and linear regimes. We also establish LDPs for certain scaled $\ell_q$ norms of the random projections in these different regimes. Moreover, we verify our assumptions for various sequences of random vectors of interest, including those distributed according to Gibbs measures with superquadratic interaction potential, or the uniform measure on suitably scaled $\ell_p^n$ balls, for $p \in [1,\infty)$, and generalized Orlicz balls defined via a superquadratic function. Our results complement the central limit theorem for convex sets and related results which are known to hold under a thin shell condition. These results also substantially extend existing large deviation results for random projections, which are first, restricted to the setting of measures on $\ell_p^n$ balls, and secondly, limited to univariate LDPs (i.e., in $\mathbb{R}$) involving either the norm of a $k_n$-dimensional projection or the projection of $X^{(n)}$ onto a random one-dimensional subspace. Random projections of high-dimensional random vectors are of interest in a range of fields including convex geometry and high-dimensional statistics.

研究动机与目标

• 将大偏差理论扩展至高维随机向量在多种渐近情形下的多维投影。
• 解决现有大偏差原理受限于单变量投影或特定测度（如 $\ell_p^n$ 球体）的局限性。
• 在一般条件下，为投影坐标的经验测度和 $\ell_q$ 范数建立退火大偏差原理。
• 验证关键模型（包括具有超二次势能的Gibbs测度和广义Orlicz球体）的假设条件。
• 在薄壳条件框架下，通过提供与中心极限定理相辅相成的大偏差结果，补充现有理论。

提出的方法

• 利用Stiefel流形上的Haar测度随机选取 $\mathbb{R}^n$ 中的正交 $k_n$-框架，确保子空间选择的均匀随机性。
• 分析三种渐近情形：$k_n = k$ 固定，$k_n \to \infty$ 且 $k_n/n \to 0$，以及 $k_n/n \to \lambda \in (0,1]$。
• 应用退火大偏差理论，推导投影向量坐标经验测度的大偏差原理。
• 推导投影的缩放 $\ell_q$ 范数的大偏差原理，各情形下均给出速率函数。
• 验证了具有超二次相互作用势能的Gibbs测度下随机向量序列的渐近薄壳条件。
• 在通过超二次函数定义的广义Orlicz球体上验证了该框架的适用性，确认其在标准 $\ell_p^n$ 范数之外的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，高维情形下多维随机投影的经验测度满足大偏差原理？
• RQ2 在三种渐近情形（固定、次线性、线性）下，大偏差行为有何差异？
• RQ3 退火LDP框架能否从单变量投影推广至向量值或基于经验测度的可观测量？
• RQ4 具有超二次相互作用势能的Gibbs测度在多大程度上满足所需的渐近薄壳条件？
• RQ5 通过超二次函数定义的广义Orlicz球体是否对其随机投影满足大偏差原理？

主要发现

• 在所有三种渐近情形（常数、次线性、线性 $k_n$ 缩放）下，均建立了投影坐标经验测度的退火大偏差原理。
• 本文推导了投影缩放 $\ell_q$ 范数的大偏差原理，提供了高维投影尾部行为的定量描述。
• 已验证具有超二次相互作用势能的Gibbs测度下随机向量的渐近薄壳条件，使LDP框架得以应用。
• 该框架适用于适当缩放的 $\ell_p^n$ 球体上的均匀测度（$p \in [1, \infty)$），将先前结果扩展至多维可观测量。
• 通过超二次函数定义的广义Orlicz球体满足所需条件，证明了其在经典 $\ell_p$ 设置之外的广泛应用性。
• 本研究显著扩展了现有大偏差理论，突破了单变量投影和基于 $\ell_p^n$ 测度的限制，为多维投影提供了统一框架。