[论文解读] An equivariant Iwasawa main conjecture for local fields

Andreas Nickel|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了局部域上的等变 Iwasawa 主猜想，将有限伽罗瓦扩张的等变局部 $\varepsilon$-常数与 $p$-进域的无挠 $\mathbb{Z}_p$-扩张上 $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ 的平展上同调的算术不变量联系起来。该文在可分扩张的情形下证明了该猜想，并通过 $p$-进 $L$-函数与 $K$-理论建立了其 Iwasawa 理论类比，为全局等变 $\varepsilon$-常数猜想提供了强有力证据。

ABSTRACT

Let $L/K$ be a finite Galois extension of $p$-adic fields and let $L_{\infty}$ be the unramified $\mathbb Z_p$-extension of $L$. Then $L_{\infty}/K$ is a one-dimensional $p$-adic Lie extension. In the spirit of the main conjectures of equivariant Iwasawa theory, we formulate a conjecture which relates the equivariant local epsilon constants attached to the finite Galois intermediate extensions $M/K$ of $L_{\infty}/K$ to a natural arithmetic invariant arising from the étale cohomology of the constant sheaf $\mathbb Q_p/\mathbb Z_p$ on the spectrum of $L_{\infty}$. We give strong evidence of the conjecture including a full proof in the case that $L/K$ is at most tamely ramified.

研究动机与目标

• 通过无挠 $\mathbb{Z}_p$-扩张，为 $p$-进域的有限伽罗瓦扩张建立等变 Iwasawa 主猜想。
• 将中间扩张的等变局部 $\varepsilon$-常数与 $\mathrm{Spec}(L_\infty)$ 上 $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ 的平展上同调的算术不变量联系起来。
• 通过建立其 Iwasawa 理论类比，为 Breuning 的局部等变 $\varepsilon$-常数猜想提供强有力证据。
• 利用 Iwasawa 理论将全局等变 $\varepsilon$-常数猜想的框架扩展至局部 $p$-进情形。

提出的方法

• 提出一个猜想，将精细欧拉特征标 invariant $C_{L_\infty/K}$ 等同于 $p$-进 $L$-函数与伽罗瓦高斯和在 Iwasawa 代数 $\Lambda(\mathcal{G})$ 中的组合。
• 利用复形 $K_L^\bullet = R\Gamma(L,\mathbb{Z}_p(1))[1] \oplus H_L[-1]$，通过平凡化 $\phi_L$ 定义上同调项 $C_{L/K}$。
• 应用 Brauer 向量化与伽罗瓦下降，将猜想约化至阿贝尔扩张与类型 $S$ 和 $W$ 的特征，利用伽罗瓦作用下的不变性。
• 使用 Iwasawa 代数 $\Lambda(\mathcal{G})$ 及其在 $(p)$ 处的局部化，分析上同调群，并确保 $\Lambda_{(p)}(\mathcal{G})$-模的自由性。
• 利用行列式映射 $\mathrm{Det}: K_1(\mathcal{Q}^c(\mathcal{G})) \to \mathrm{Hom}^*(R_p(\mathcal{G}), \Lambda^c(\Gamma_K)^\times)$，将 $p$-进 $L$-函数与猜想等式联系起来。
• 应用 $\Lambda(\Gamma_K)$-模中 $\mu$-不变量的理论，通过约化至可分子扩张，证明 $\mu$-不变量的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $p$-进 Iwasawa 理论的背景下对全局等变 $\varepsilon$-常数猜想进行局部化并重新表述？
• RQ2 等变局部 $\varepsilon$-常数与 $L_\infty$ 上 $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ 的平展上同调所生成的算术不变量之间的确切关系是什么？
• RQ3 是否能通过 Iwasawa 理论方法，特别是在可分扩张情形下，证明局部等变 $\varepsilon$-常数猜想？
• RQ4 局部域的 Iwasawa 主猜想在多大程度上能恢复或蕴含 Breuning 的局部等变 $\varepsilon$-常数猜想？
• RQ5 在伽罗瓦下降与诱导下，$p$-进 $L$-函数的 $\mu$-不变量如何表现，这对算术不变量的消失意味着什么？

主要发现

• 当 $L/K$ 为可分扩张时，该猜想被完全证明，建立了 $K_0(\mathbb{Z}_p[G], \mathbb{Q}_p^c)$ 中不变量 $R_{L/K}$ 的消失。
• 所有类型为 $S$ 的不可约特征 $\chi$ 的 $p$-进 $L$-函数 $f(\chi)$ 的 $\mu$-不变量消失，其证明通过约化至阶与 $p$ 互素的循环子群完成。
• $\Lambda_{(p)}(\mathcal{G}) \otimes_{\Lambda(\mathcal{G})}^\mathbb{L} K_{L_\infty}^\bullet$ 的上同调群在度数 $0$ 和 $1$ 上是秩为 $[K:\mathbb{Q}_p]$ 的自由 $\Lambda_{(p)}(\mathcal{G})$-模，其余度数为零。
• 该猜想等价于条件 $\mathrm{Det}(x_{L_\infty/K})^{-1} \cdot \tau^{(j)}_{L_\infty/K} \in \mathrm{Det}(K_1(\Lambda_{(p)}(\mathcal{G})))$，将 $K$-理论与 $p$-进 $L$-函数联系起来。
• 在假设 $L/K$ 为可分扩张的前提下，Breuning 猜想的 Iwasawa 理论类比成立，$f(\chi)$ 的 $\mu$-不变量消失，原因在于惰性子群的结构与伽罗瓦下降。
• 该结果为全局等变 $\varepsilon$-常数猜想提供了强有力证据，因为全局猜想的 $p$-部分由 $E_w/F_v$ 的局部猜想所蕴含。