[论文解读] Heegner Point Kolyvagin System and Iwasawa Main Conjecture

Xin Wan|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 19

一句话总结

本文在全局根数为 $-1$ 的情况下，通过使用 Heegner 点的 Kolyvagin 系统以及 Rankin-Selberg $p$-进 $L$-函数的近期可除性结果，证明了 Heegner 点的反循环 Iwasawa 主猜想。关键贡献在于，在特定局部条件下，建立了对偶 Selmer 群的特征理想与 $p$-进 $L$-函数之间的等式，并在改进假设的前提下，证明了 Gross-Zagier-Kolyvagin 定理的逆定理。

ABSTRACT

In this paper we prove an anticyclotomic Iwasawa main conjecture proposed by Perrin-Riou for Heegner points when the global sign is -1, using a recent work of the author on one divisibility of Iwasawa-Greenberg main conjecture for Rankin-Selberg p-adic L-functions. As a byproduct we also prove the equality for the above mentioned main conjecture under some local conditions.

研究动机与目标

• 在 $p$-进 $L$-函数研究的基础上，证明当全局根数为 $-1$ 时，Heegner 点的反循环 Iwasawa 主猜想。
• 在特定局部条件下，建立对偶 Selmer 群的特征理想与 $p$-进 $L$-函数之间的等式。
• 通过弱化伽罗瓦表示与根数的假设，改进 C. Skinner 的 Gross-Zagier-Kolyvagin 定理的逆定理。

提出的方法

• 在 $\Lambda$-进伽罗瓦表示 $\mathbf{T} = T \otimes_\mathbb{Z}_p \Lambda(\Psi)$ 中构造 Heegner 点的 Kolyvagin 系统，其中 $\Lambda$ 为反循环 Iwasawa 代数。
• 应用近期关于 Rankin-Selberg $p$-进 $L$-函数的 Iwasawa-Greenberg 主猜想中一个可除性的结果，以控制 Selmer 群。
• 使用 $\Lambda$-进 $L$-函数 $\mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}^{BDP}$ 及其在 $\gamma^+ = 1$ 处的特殊化，将 Selmer 群的特征理想与 $p$-进 $L$-函数联系起来。
• 通过与 Hida 家族 $L$-函数的比较，分析 $p$-进 $L$-函数 $\mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}$ 的分母，证明其为 $p$-幂次单位，因此 $\widetilde{\mathcal{L}}_{f,\mathcal{K}} = \mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}$ 在单位意义下成立。
• 应用 Greenberg 方法，将 $\mathcal{K}_\infty^-$ 上 Selmer 群的特殊化与 $\mathcal{K}$ 上的经典 Selmer 群联系起来，证明 Heegner 点的非挠性。
• 利用对合 $\iota: \Lambda \to \Lambda$ 将 $\Lambda$-模结构的 Selmer 群与 $p$-进 $L$-函数联系起来，该对合将 $1+W$ 映射为 $(1+W)^{-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当全局根数为 $-1$ 时，Heegner 点的反循环 Iwasawa 主猜想是否成立？
• RQ2 在椭圆曲线与虚二次域的特定局部条件下，对偶 Selmer 群的特征理想与 $p$-进 $L$-函数的等式是否可被建立？
• RQ3 在保持 Heegner 点非挠性的前提下，C. Skinner 的 Gross-Zagier-Kolyvagin 定理的逆定理中的假设可在多大程度上被弱化？

主要发现

• 当全局根数为 $-1$ 时，Heegner 点的反循环 Iwasawa 主猜想已得证，即 $\mathrm{char}_\Lambda(X_{f,\mathcal{K}}) = (\mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}^{BDP})$ 作为 $\Lambda$ 中的理想成立。
• 在假设 $\mathrm{ord}_p(\widetilde{\mathcal{L}}_{f,\mathcal{K}}) = 0$ 的前提下，等式 $\mathrm{char}_{\Lambda_{\mathcal{K}}}(X_{f,\mathcal{K}}) = (\widetilde{\mathcal{L}}_{f,\mathcal{K}})$ 成立，从而在该情况下确认了猜想。
• $p$-进 $L$-函数 $\mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}$ 的分母仅含 $p$ 的幂次，因此 $\widetilde{\mathcal{L}}_{f,\mathcal{K}} = \mathcal{L}_{f,\mathcal{K}}$ 在单位意义下成立，意味着 $p$-进 $L$-函数是整的。
• Heegner 点 $\kappa_1$ 在 $H^1_{\mathcal{F}}(\mathcal{K}, T \otimes \mathbb{Q}_p)$ 中不是挠点，这意味着 $L$-函数 $L_{\mathcal{K}}(f,1)$ 恰好一阶零。
• 该方法表明 $\frac{H^1_{\mathcal{F}}(\mathcal{K}, \mathbf{T})}{I H^1_{\mathcal{F}}(\mathcal{K}, \mathbf{T}) + \Lambda \kappa_1^{Hg}}$ 是挠模，从而确认了 Kolyvagin 系统像的非零性。
• 该结果通过表明在假设 Selmer 群 $H^1_{\mathcal{F}}(\mathcal{K}, E[p^\infty])$ 的余维数为 1 的前提下，即使不假设全局根数为 $-1$，Heegner 点 $\kappa_1$ 也不是挠点，从而加强了 C. Skinner 的逆定理。