[论文解读] An even better Density Increment Theorem and its application to Hadwiger's Conjecture

Luke Postle|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文提出了一种改进的密度增量定理，由此得出了不含 $K_t$ 小节的图的色数上界更紧的结论。通过优化结构分解技术，作者证明此类图是 $O(t (/\log t)^6)$-可染色的，显著优于此前形式为 $O(t \sqrt{\log t})$ 和 $O(t (\log t)^\beta)$（$\beta > 0$）的上界。该工作推进了对 Hadwiger 猜想的研究。

ABSTRACT

In 1943, Hadwiger conjectured that every graph with no $K_t$ minor is $(t-1)$-colorable for every $t\ge 1$. In the 1980s, Kostochka and Thomason independently proved that every graph with no $K_t$ minor has average degree $O(t\sqrt{\log t})$ and hence is $O(t\sqrt{\log t})$-colorable. Recently, Norin, Song and the author showed that every graph with no $K_t$ minor is $O(t(\log t)^β)$-colorable for every $β> 1/4$, making the first improvement on the order of magnitude of the $O(t\sqrt{\log t})$ bound. More recently, the author showed that every graph with no $K_t$ minor is $O(t (\log t)^β)$-colorable for every $β> 0$; more specifically, they are $t \cdot 2^{ O((\log \log t)^{2/3}) }$-colorable. In combination with that work, we show in this paper that every graph with no $K_t$ minor is $O(t (\log \log t)^{6})$-colorable.

研究动机与目标

• 改进不含 $K_t$ 小节的图的色数上界。
• 通过改进密度增量方法，使色数上界对 $t$ 的依赖关系更优。
• 通过降低色数上界的渐近阶，推进对 Hadwiger 猜想的研究。
• 将近期取得的对任意 $\beta > 0$ 的 $O(t (\log t)^\beta)$-可染色性结果，推广至 $\log \log t$ 的多对数因子。

提出的方法

• 提出一个新的具有更强正则性和密度增益性质的密度增量定理。
• 将改进的密度增量定理应用于将图分解为低密度子图和结构化部分。
• 通过迭代分解控制所需颜色数，利用优化后的密度增益。
• 将新密度增量定理与先前关于 $K_t$-小节自由图的结构结果相结合。
• 基于分解结果采用递归染色策略，以界定色数。
• 通过优化密度增益和迭代深度的分析，改进对 $\log \log t$ 的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将不含 $K_t$ 小节的图的色数用 $t$ 的函数进行有界，且其对 $\log t$ 的依赖关系慢于 $O(t \sqrt{\log t})$？
• RQ2 在不含 $K_t$ 小节的图的色数上界中，可实现的最佳多对数因子是什么？
• RQ3 密度增量方法能否被强化，以得到形如 $O(t (\log \log t)^k)$ 的上界（$k$ 为某绝对常数）？
• RQ4 与先前结果相比，新密度增量定理在密度增益与结构控制之间的权衡上如何改进？
• RQ5 该改进的上界能否用于进一步推进对 Hadwiger 猜想的研究？

主要发现

• 本文证明，任何不含 $K_t$ 小节的图都是 $O(t (\log \log t)^6)$-可染色的，相较于 $O(t \sqrt{\log t})$ 的上界有显著改进。
• 该结果通过一种改进的密度增量定理实现，该定理在结构化图分解中提供了更强的密度增益控制。
• 该上界优于先前 $t \cdot 2^{O((\log \log t)^{2/3})}$-可染色性的结果，通过降低 $\log \log t$ 项的指数得到改进。
• 该方法实现了对 $\log \log t$ 的多对数依赖，是迈向 Hadwiger 猜想中预期的 $O(t)$ 色数上界的重要一步。
• 分析表明，密度增量方法可更高效地迭代，从而获得更优的渐近上界。
• 该结果证实，不含 $K_t$ 小节的图的色数增长速度慢于任何 $O(t (\log t)^\beta)$（$\beta > 0$），现已被固定幂次的 $\log \log t$ 所界定。