[论文解读] An Exactly Solvable Constrained XXZ Chain

F C Alcaraz, R. Z. Bariev|ArXiv.org|Apr 2, 1999

Product Development and CustomizationBusiness, Management and Accounting参考文献 1被引用 18

一句话总结

本文通过引入一种硬核约束，将XXZ模型推广为一类新的精确可解量子自旋链，该约束禁止自旋向上粒子之间的距离小于 $ t $（$ t = 0,1,2,\dots $）。利用坐标Bethe ansatz方法，作者推导出精确的Bethe ansatz方程，并通过有限尺寸标度法计算临界指数，发现当半满时 $ \rho = 1/(t+2) $，临界行为与 $ \Delta $ 无关，且 $ X_p = (t+2)^2/4 $；同时，$ \Delta \to -\infty $ 极限映射到一个类似自由费米子的模型，其有效 $ t' = t+1 $。该模型即使在 $ \Delta < -1 $ 时也表现出非平凡的临界性，将可积性扩展至标准XXZ链之外。

ABSTRACT

A new family of exactly solvable models is introduced. These models are generalizations of the XXZ chain where the distance among spins up ($σ^z$-basis) cannot be smaller or equal to t (t=0,1,2,...). The case t=0 recovers the standard XXZ chain. The coordinate Bethe ansatz is applied and the phase diagram is calculated. Exploring the finite-size consequences of conformal invariance the critical exponents are evaluated exactly at the critical regions of the phase diagram

研究动机与目标

• 通过引入禁止自旋向上粒子之间距离小于 $ t $ 的硬核约束，推广可积的XXZ自旋链，其中 $ t = 0,1,2,\dots $。
• 在该约束下保持可积性，并将Bethe ansatz方法推广至非局域相互作用。
• 利用有限尺寸标度法与共形场论，在低能极限下计算临界指数。
• 探索相图与临界行为，特别是半满状态及 $ \Delta \to -\infty $ 极限下的行为。
• 建立约束模型与强排斥极限下类似自由费米子系统的映射关系。

提出的方法

• 通过用非局域投影算符 $ P_t $ 取代局部费米子排斥 $ P_0 $，推广XXZ哈密顿量，该算符禁止距离 $ \leq t $ 内的两个自旋向上。
• 将哈密顿量表示为具有修正跃迁和密度相互作用的自旋无费米子形式：$ H_t(\Delta) = -\sum_i P_t (c_i^\dagger c_{i+1} + \text{h.c.} + \Delta n_i n_{i+t+1}) P_t $。
• 对波函数 $ \Psi = \sum_{x_1 < \cdots < x_n} a(x_1,\dots,x_n) |x_1,\dots,x_n\rangle $ 应用坐标Bethe ansatz，其中振幅 $ a = \sum_P A_k e^{i\sum k_j x_j} $。
• 推导出 $ t > 0 $ 时的Bethe ansatz方程，其形式等价于尺寸为 $ L' = L - tn $ 的XXZ链在扭曲边界条件下的方程。
• 通过能级的有限尺寸标度提取临界指数 $ X_p $，并利用共形场论关系 $ X_p = \frac{1}{4}(t+2)^2(\pi - \gamma) $ 在半满时建立关联。
• 分析 $ \Delta \to -\infty $ 极限，表明系统有效映射为 $ t' = t+1 $ 且 $ \Delta = 0 $ 的模型，从而在 $ \rho < 1/(t+2) $ 时得到 $ X_p = 1/[4(1 - \rho(t+1))^2] $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自旋向上粒子之间施加最小距离 $ t $ 的约束，如何影响XXZ链的可积性与能谱？
• RQ2 约束XXZ链的精确临界指数是什么？它们如何依赖于 $ \Delta $、$ t $ 和粒子密度 $ \rho $？
• RQ3 在半满 $ \rho = 1/(t+2) $ 时，临界行为是否仍与 $ \Delta $ 无关？若是，原因是什么？
• RQ4 在 $ \Delta \to -\infty $ 极限下，该模型的有效低能描述是什么？
• RQ5 Bethe ansatz能否推广至 $ t > 0 $ 的非局域约束？其与扭曲边界条件有何关联？

主要发现

• 对于 $ t > 0 $ 的约束链，Bethe ansatz方程等价于尺寸为 $ L' = L - tn $ 且具有扭曲边界条件的标准XXZ链的方程。
• 在半满 $ \rho = 1/(t+2) $ 时，临界指数为 $ X_p = (t+2)^2/4 $，且与 $ \Delta $ 无关，这是由于能隙关闭而非相互作用效应所致。
• 在 $ \Delta \to -\infty $ 极限且 $ \rho < 1/(t+2) $ 时，该模型有效映射为 $ t' = t+1 $ 的自由费米子系统，得到 $ X_p = 1/[4(1 - \rho(t+1))^2] $。
• 在低密度 $ \rho \to 0 $ 时，$ X_p = 1/4 $；在高密度 $ \rho \to 1/(t+1) $ 时，$ X_p = (t+1)^2/4 $，与 $ \Delta = 0 $ 情况一致，因相互作用可忽略。
• 对于 $ \Delta < -1 $，临界指数为非平凡且此前未见报道，即使在标准XXZ链（$ t=0 $）中亦然。
• 当 $ t = -1 $ 时，该模型同样精确可解，对应于无限制的站点占据，其Bethe ansatz方程可扩展至 $ t = -1 $，且哈密顿量可通过无限维矩阵实现。