[论文解读] An explicit Euler scheme with strong rate of convergence for financial SDEs with non-Lipschitz coefficients

Jean-François Chassagneux, Antoine Jacquier+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种带有投影的修正显式 Euler-Maruyama 格式，用于求解具有非 Lipschitz 系数的随机微分方程（SDEs），这类方程在金融模型中常见，如 CIR、$3/2$ 和 Ait-Sahalia 模型。通过将投影机制与非 Lipschitz 扩散的 Lamperti 变换相结合，该格式在 $L^{1+\varepsilon}$-范数下实现了最优强收敛速率，从而在多水平蒙特卡洛定价中实现了高达 40 倍的计算节省。

ABSTRACT

We consider the approximation of stochastic differential equations (SDEs) with non-Lipschitz drift or diffusion coefficients. We present a modified explicit Euler-Maruyama discretisation scheme that allows us to prove strong convergence, with a rate. Under some regularity and integrability conditions, we obtain the optimal strong error rate. We apply this scheme to SDEs widely used in the mathematical finance literature, including the Cox-Ingersoll-Ross~(CIR), the 3/2 and the Ait-Sahalia models, as well as a family of mean-reverting processes with locally smooth coefficients. We numerically illustrate the strong convergence of the scheme and demonstrate its efficiency in a multilevel Monte Carlo setting.

研究动机与目标

• 解决在金融模型中常见的非全局 Lipschitz 钝化和扩散系数的显式格式缺乏强收敛速率的问题。
• 开发一种计算高效的数值格式，确保解始终位于真实 SDE 的状态空间内，避免爆炸或出现负值。
• 在较弱的正则性和可积性条件下，为包括 CIR、$3/2$ 和 Ait-Sahalia 模型在内的广泛 SDE 类别建立最优强收敛速率。
• 通过证明在 $L^{1+\varepsilon}$-范数下的收敛性，实现高效的多水平蒙特卡洛（MLMC）定价，其中 $\varepsilon=1$ 适用于 MLMC 应用。
• 推广现有的稳定化和投影格式，同时处理定义域两端的非 Lipschitz 行为。

提出的方法

• 引入一种带有投影的修正显式 Euler-Maruyama 格式，确保数值解始终位于 $ (0,\infty) $ 域内，防止出现负值。
• 应用 Lamperti 变换，将具有非 Lipschitz 扩散的 SDE 转化为具有常数扩散的 SDE，将非光滑性转移至漂移项。
• 对漂移项使用局部 Lipschitz 条件，并采用单边 Lipschitz 条件以控制增长并确保稳定性。
• 通过分析真实过程与近似过程之间的误差，结合矩界和局部化技术，建立在 $L^{1+\varepsilon}$-范数下的强收敛性。
• 在多水平蒙特卡洛（MLMC）框架中实现该格式，采用时间步长的分层结构，并通过层级间差值实现方差减少。
• 在投影格式中使用参数 $k=1/4$，并在 CIR 和价差期权示例中设置 $L=0.01$ 以保证数值稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带有投影的显式 Euler 格式能否在数学金融中对具有非 Lipschitz 系数的 SDE 实现强收敛？
• RQ2 此类格式可达到的最优强收敛速率是多少，特别是对 CIR 和 $3/2$ 模型而言？
• RQ3 在 MLMC 设置下，该格式与标准蒙特卡洛及现有稳定化/隐式格式相比，在效率上如何？
• RQ4 该格式能否同时处理状态空间两端的非 Lipschitz 行为？
• RQ5 与标准蒙特卡洛相比，使用该格式的 MLMC 实现的计算节省因子是多少？

主要发现

• 修正的 Euler 格式在 $L^{1+\varepsilon}$-范数下实现了最优收敛速率 $1/2$，其中 $\varepsilon \geq 0$，且 $\varepsilon=1$ 使得该格式适用于 MLMC 应用。
• 在 CIR 模型中，与标准蒙特卡洛相比，该格式在标准蒙特卡洛与 MLMC 之间实现了高达 27 倍的计算节省，而在 $\varepsilon=0.000005$ 时，MLMC 中的节省因子高达 40.97 倍。
• 在 $\rho = -0.7$ 的 CIR 价差期权示例中，MLMC 实现的节省因子在 $\varepsilon=0.000005$ 时达到 47.19 倍，相较于标准蒙特卡洛。
• 该格式成功处理了此前具有挑战性的 $3/2$-模型，并在备注 4.2 中建立了新的收敛结果。
• 数值结果表明，MLMC 中差值的方差减少速度约为标准 Euler 格式弱收敛速率的两倍。
• 该格式在保持与显式 Euler-Maruyama 格式相当的计算成本的同时，确保了对非 Lipschitz 系数的稳定性与收敛性。