[论文解读] An explicit theory of $\pi_{1}^{\un,\crys}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N},\infty\})$ - II-2 : From standard algebraic relations of weighted multiple harmonic sums to those of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

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一句话总结

本文通过显式公式和调和Ihara作用，将环路p进制多重Zeta值的代数关系与加权多重调和和的关系相联系，建立了其环路p进制多重Zeta值的显式理论。证明了Besser-Furusho-Jafari定理的两个‘调和’版本，表明p进制多重Zeta值的双重打乱关系与Frobenius映射和比较映射相容，从而通过调和和与过收敛超对数显式实现了准打乱关系的实现。

ABSTRACT

Let $X_{0}=\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }\mathbb{F}_{q}$, with $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ and $\mathbb{F}_{q}$ of characteristic $p>0$ and containing a primitive $N$-th root of unity. We establish an explicit theory of the crystalline pro-unipotent fundamental groupoid of $X_{0}$. In part I, we have computed explicitly the Frobenius, and in particular cyclotomic $p$-adic multiple zeta values. In part II, we use part I to understand the algebraic relations of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values via explicit formulas ; this is in particular a study of the harmonic Ihara actions and the maps of comparisons between them introduced in I-2 and I-3. In II-1, we have developed the basics of algebraic theory of cyclotomic sequences of prime weighted multiple harmonic sums and adjoint cyclotomic multiple zeta values viewed as variants of those of the algebraic theory of cyclotomic multiple zeta values. In this II-2, we use part I and II-1 to show that one can read some standard algebraic relations of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values via the explicit formulas and via the standard algebraic relations of sequences of multiple harmonic sums. This amounts to say that the harmonic Ihara actions and the comparison maps are compatible with algebraic relations. The two main results are two "harmonic" versions of Besser-Furusho-Jafari's theorem that $p$-adic multiple zeta values satisfy the regularized double shuffle relations. This gives two different answers to what we could call "the adjoint variant" of a question of Deligne and Goncharov about reading the quasi-shuffle relation of $p$-adic multiple zeta values via explicit formulas.

研究动机与目标

• 通过调和Ihara作用和比较映射，建立环路p进制多重Zeta值的显式代数理论。
• 证明标准代数关系（特别是双重打乱关系）可从加权多重调和和的关系中显式恢复。
• 证明调和Ihara作用与比较映射在过收敛p进制超对数的代数关系背景下具有相容性。
• 提供Frobenius作用在晶体纯无根基本群丛上的显式公式，以实现代数结构的转移。
• 通过调和类比，显式解决Deligne与Goncharov关于通过显式公式读取准打乱关系的‘伴随变体’问题。

提出的方法

• 利用从晶体基本群丛上的Frobenius作用导出的环路p进制多重Zeta值的显式公式。
• 应用调和Ihara作用（◦har）和比较映射（Σ），将多重调和和上的代数结构与p进制Zeta值上的代数结构相联系。
• 利用调和Ihara作用的torsor，研究不同框架（DR、DR-RT、RT）之间代数关系的反映。
• 使用通过Frobenius迭代定义的过收敛p进制超对数Li†p,α，对打乱积结构进行建模。
• 应用显式公式 har†p,αn(w) = n−weight(w) × [z^n]Li†p,α(w)，将调和和与p进制Zeta值相联系。
• 利用打乱关系在Li†p,α上等价于在harn和ζp,α上成立的事实，通过Frobenius相容性实现推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从加权多重调和和的关系中显式恢复环路p进制多重Zeta值的标准代数关系？
• RQ2 调和Ihara作用与比较映射在p进制Zeta值的代数关系背景下如何相互作用？
• RQ3 p进制多重Zeta值的双重打乱关系在多大程度上与Frobenius作用和显式公式相容？
• RQ4 能否通过调和和与过收敛超对数，显式实现p进制多重Zeta值的准打乱关系？
• RQ5 是否存在Besser-Furusho-Jafari定理在环路p进制多重Zeta值上的调和类比？

主要发现

• 本文证明了Besser-Furusho-Jafari定理的两个‘调和’版本，确立了环路p进制多重Zeta值通过显式公式满足双重打乱关系。
• 证明了调和Ihara作用与比较映射与代数关系相容，即关系结构在这些映射下保持不变。
• 过收敛p进制超对数Li†p,α的打乱关系被显式实现为卷积恒等式：∑_{m=1}^{n-1} har†p,αm(w) har†p,αn−m(w′) = har†p,αn(w x w′)。
• 显式公式 har†p,αn(w) = n−weight(w) × [z^n]Li†p,α(w) 将p进制调和和与p进制Zeta值的生成函数相联系。
• 基本群丛上的Frobenius作用在调和和上诱导了相容结构，确保harn的代数关系可提升至ζp,α的代数关系。
• 生成函数Φp,α满足打乱关系，且该关系等价于harn与ζp,α的打乱关系，确认了显式框架的一致性。