[论文解读] Representation zeta functions of some compact p-adic analytic groups

Nir Avni, Benjamin Klopsch+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用 9

一句话总结

该论文运用基里洛夫轨道方法、p进积分和克莱夫理论，计算了特征为0的离散赋值环上紧致p进解析群的显式表示zeta函数。论文建立了收敛横坐标的一般界，并在剩余特征为3且环为非分歧的情况下，为SL₂(𝔬)、SL₁(𝔇)以及SL₃(𝔬)的主同余子群提供了精确公式。

ABSTRACT

Using the Kirillov orbit method, novel methods from p-adic integration and Clifford theory, we study representation zeta functions associated to compact p-adic analytic groups. In particular, we give general estimates for the abscissae of convergence of such zeta functions. We compute explicit formulae for the representation zeta functions of some compact p-adic analytic groups, defined over a compact discrete valuation ring O of characteristic 0. These include principal congruence subgroups of SL_2(O), without any restrictions on the residue field characteristic of O, as well as the norm one group SL_1(D) of a non-split quaternion algebra D over the field of fractions of O and its principal congruence subgroups. We also determine the representation zeta functions of principal congruence subgroups of SL_3(O) in the case that O has residue field characteristic 3 and is unramified over Z_3.

研究动机与目标

• 建立FAb紧致p进解析群的表示zeta函数收敛横坐标的一般界。
• 在特定条件下，为SL₂(𝔬)、SL₁(𝔇)以及SL₃(𝔬)的主同余子群的表示zeta函数推导出显式公式。
• 将对p进解析群中表示增长的理解扩展至非一般情形，特别是剩余特征为3的情形。
• 分析李代数不变量ρ和σ在决定zeta函数收敛横坐标中的作用。
• 对非分裂四元数群及其同余子群的表示增长进行系统性研究。

提出的方法

• 应用基里洛夫轨道方法，将不可约表示与李代数中的余伴随轨道联系起来。
• 采用p进积分技术计算轨道积分，并通过测度论方法计数表示。
• 运用克莱夫理论分析正规子群的表示，并将其诱导至整个群。
• 引入由李代数中最小与最大中心化子维数导出的不变量ρ和σ，以界定收敛横坐标的上界。
• 利用紧致离散赋值环𝔞上的李格结构，定义并研究主同余子群。
• 在特征3下，对GL₃(𝔽_q)中的共轭类进行逐 case 分类，以计算轨道数与大小，这些是zeta函数计算的关键。

实验结果

研究问题

• RQ1 FAb紧致p进解析群的表示zeta函数收敛横坐标的一般界是什么？
• RQ2 如何为SL₂(𝔬)及其主同余子群推导出表示zeta函数的显式公式？
• RQ3 在p进域上非分裂四元代数的范数为1群SL₁(𝔇)的表示zeta函数结构如何？
• RQ4 SL₃(𝔬)在剩余特征为3时的表示增长与一般情形有何不同？
• RQ5 在正特征下，有限李代数中的轨道类型与共轭类计数在zeta函数计算中起什么作用？

主要发现

• 对于SL₂(𝔬)的主同余子群，当 $ p > 2 $ 时，表示zeta函数显式计算为 $ q^{3m} \frac{1 - q^{-2 - s}}{1 - q^{1 - s}} $；当 $ p = 2 $ 且环为非分歧时，为 $ q^{3m} \frac{q^2 - q^{-s}}{1 - q^{1 - s}} $。
• 对于满足 $ 2e(\mathfrak{k},\mathbb{Q}_p) < p - 1 $ 的p进域上非分裂四元代数的范数为1群SL₁(𝔇)，zeta函数为 $ \frac{(q+1)(1 - q^{-s}) + 4(q-1)((q+1)/2)^{-s}}{1 - q^{1 - s}} $。
• 主同余子群 $ \operatorname{SL}_1^m(\mathfrak{R}) $ 的表示zeta函数为 $ q^{3m} \frac{q - q^{-1 - s}}{1 - q^{1 - s}} $。
• 对于环为非分歧且剩余特征为3的SL₃(𝔬)，通过在特征3下对GL₃(𝔽_q)中的共轭类进行分类，显式计算了zeta函数。
• 对于 $ \mathsf{G}^m = \exp(\mathfrak{p}^m \mathfrak{g}) $，收敛横坐标满足不等式 $ (d - 2\rho)\rho^{-1} \leq \alpha(\mathsf{G}^m) \leq (d - 2\sigma)\sigma^{-1} $，其中 $ \rho $ 和 $ \sigma $ 为李代数不变量。
• 论文证明了这些群的表示增长为多项式增长，且增长次数由收敛横坐标精确决定。