[论文解读] An exploration of normalish subgroups of R. Thompson's groups $F$ and $T$

Collin Bleak|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文证明了 R. Thompson 的群 $F$ 包含一个近乎正规的可约子群，且 $F$ 在 $T$ 中的标准副本在 $T$ 中也是近乎正规的。这些结果支持一个猜想：若 $F$ 不可约，则 $T$ 不含任何近乎正规的可约子群，这意味着 $T$ 的约化 $C^*$-代数是单的。

ABSTRACT

In this short note, we show that R. Thompson's group $F$ admits a normalish amenable subgroup, and that the standard copy of $F$ in R. Thompson's group $T$ is normalish in $T$. We further conjecture that if $F$ is non-amenable, then $T$ does not admit a normalish amenable subgroup, and therefore that the reduced $C^*$ algebra of $T$ is in fact simple in that case.

研究动机与目标

• 研究 R. Thompson 群 $F$ 和 $T$ 中是否存在近乎正规的可约子群。
• 探讨此类子群对 $T$ 的 $C^*$-单性的影响。
• 检验当 $F$ 不可约时，若不存在近乎正规的可约子群，是否意味着 $T$ 是 $C^*$-单的。
• 考察避免嵌入 $F$ 或非交换自由子群的 $T$ 的子群所面临的结构约束。

提出的方法

• 定义子群 $W = \langle x_0, b \rangle \leq F$，其中 $x_0$ 是标准生成元，$b$ 的支集为 $(1/4, 1/2)$，构成受限半直积 $\mathbb{Z} \wr_r \mathbb{Z}$。
• 证明 $W$ 的基群 $D$ 同构于 $\bigoplus_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}$，由 $x_0$ 作用下 $b$ 的共轭生成，且 $D$ 是可约的。
• 通过证明对任意有限个共轭变换器，$D$ 的共轭的交集是无限的，从而证明 $D$ 在 $F$ 中近乎正规。
• 通过证明对 $T$ 中任意有限个元素，其共轭的交集是无限的，建立 $F$ 在 $T$ 中的标准副本是近乎正规的。
• 利用 $F$ 在每个二进制区间上都作用于同构于 $F$ 的子群的事实，证明 $F$ 在 $T$ 中的共轭的交集是无限的。
• 借助 Brin 的普遍性定理和一个不动点引理，分析避免 $F$ 或自由子群的子群的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 R. Thompson 群 $F$ 是否存在一个近乎正规的可约子群？
• RQ2 $F$ 在 $T$ 中的标准副本是否在 $T$ 中近乎正规？
• RQ3 若 $F$ 不可约，$T$ 是否不包含任何近乎正规的可约子群，从而意味着 $T$ 是 $C^*$-单的？
• RQ4 若子群避免嵌入 $F$ 或非交换自由子群，$T$ 的子群面临何种结构约束？

主要发现

• R. Thompson 群 $F$ 包含一个近乎正规的可约子群，即受限半直积构造中的基群 $D \cong \bigoplus_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}$。
• $T$ 中 $F$ 的标准副本在 $T$ 中近乎正规，因为其在 $T$ 中任意有限个元素的共轭的交集是无限的。
• 交集 $\mathscr{I} = \bigcap_{1 \leq i \leq m} F^{k_i}$ 是无限的，因为它包含在 $k_i$ 的轨道之外的二进制区间上同构于 $F$ 的子群。
• 该构造依赖于 $F$ 在 $0$ 附近线性作用的事实，确保 $b$ 的共轭在 $0$ 附近聚集，从而使 $D$ 的共轭交集是无限的。
• 本文猜想，$T$ 的每个近乎正规子群必须包含一个嵌入的 $F$ 或一个非交换自由子群。
• 这些结果支持一个猜想：若 $F$ 不可约，则 $T$ 不含任何近乎正规的可约子群，这意味着 $T$ 的约化 $C^*$-代数是单的。