[论文解读] Local Computation: Lower and Upper Bounds

Fabian Kühn, Thomas Moscibroda+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用 38

一句话总结

本文建立了分布式系统中局部计算的首个对数多边形下界，证明了最小点覆盖、最大独立集和最大匹配等问题需要多对数局部信息才能高效近似。此外，本文提出了一种用于覆盖与打包线性规划的新分布式算法，其近似性能与下界紧密匹配，从而刻画了网络中局部可近似性的根本极限。

ABSTRACT

The question of what can be computed, and how efficiently, are at the core of computer science. Not surprisingly, in distributed systems and networking research, an equally fundamental question is what can be computed in a \emph{distributed} fashion. More precisely, if nodes of a network must base their decision on information in their local neighborhood only, how well can they compute or approximate a global (optimization) problem? In this paper we give the first poly-logarithmic lower bound on such local computation for (optimization) problems including minimum vertex cover, minimum (connected) dominating set, maximum matching, maximal independent set, and maximal matching. In addition we present a new distributed algorithm for solving general covering and packing linear programs. For some problems this algorithm is tight with the lower bounds, for others it is a distributed approximation scheme. Together, our lower and upper bounds establish the local computability and approximability of a large class of problems, characterizing how much local information is required to solve these tasks.

研究动机与目标

• 确定仅使用局部信息在分布式网络中可计算的根本极限。
• 识别哪些全局优化问题本质上是多对数局部的，既非完全局部也非全局。
• 建立近似关键组合问题所需局部信息量的紧致界。
• 设计一种适用于一般覆盖与打包线性规划的分布式算法，使其与下界相匹配。

提出的方法

• 使用保持局部性的归约方法，证明多个优化问题属于多对数局部类。
• 构建具有特定节点视图的高圈图，以证明所需局部信息的下界。
• 设计一种用于覆盖与打包线性规划的分布式算法，实现与下界相匹配的近似比。
• 分析实现常数或多对数近似的k跳邻域信息需求。
• 应用高圈图构造，推导出近似比的下界为Ω(n^{1/k²})，揭示该技术的固有局限性。
• 使用公共提升和图构造方法，简化下界证明并确保正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分布式环境中，计算或近似基本图优化问题所需的最小局部信息量是多少？
• RQ2 是否可以将局部计算的下界变紧？若可以，适用于哪些问题？
• RQ3 是否存在使用最少局部信息即可实现最优近似比的分布式算法？
• RQ4 不同图类（如环、单位圆图、一般图）的局部可计算性特性如何比较？
• RQ5 能否基于保持局部性的归约，建立统一的局部计算复杂性层级？

主要发现

• 本文首次为包括最小点覆盖、最大独立集和最大匹配在内的问题的局部计算建立了对数多边形下界。
• 对于最小点覆盖问题，任何分布式算法为实现常数或多对数近似，至少需要Ω(log Δ / log log Δ)跳邻域信息。
• 所提出的覆盖与打包线性规划的分布式算法在k轮通信内实现O(Δ^{1/k})近似，与下界仅相差常数因子。
• 最小点覆盖的上下界几乎紧致，指数部分仅存在O(log log Δ)的差距。
• 当以n表示时，上下界之间的剩余差距可达Θ(√(log n / log log n))，表明当前证明技术存在局限性。
• 结果表明，一般图在局部计算上严格难于单位圆图，后者可在O(log* n)时间内计算最大独立集，与Linial的下界一致。