[论文解读] An exterior calculus framework for polytopal methods

Francesco Bonaldi, Daniele A. Di Pietro+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2023

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 51被引用 5

一句话总结

本文首次提出了微分形式的多面体复形，通过将外微分几何与多面体方法统一，构建了在一般多面体网格上稳定且相容的离散外微分复形。该研究建立了插值算子与外微分之间的交换性，证明了多项式一致性，并表明离散上同调与连续外微分复形同构，从而为复杂网格上的PDE提供了鲁棒的数值格式。

ABSTRACT

We develop in this work the first polytopal complexes of differential forms. These complexes, inspired by the Discrete De Rham and the Virtual Element approaches, are discrete versions of the de Rham complex of differential forms built on meshes made of general polytopal elements. Both constructions benefit from the high-level approach of polytopal methods, which leads, on certain meshes, to leaner constructions than the finite element method. We establish commutation properties between the interpolators and the discrete and continuous exterior derivatives, prove key polynomial consistency results for the complexes, and show that their cohomologies are isomorphic to the cohomology of the continuous de Rham complex.

研究动机与目标

• 将有限元外微分几何与多面体方法统一，适用于一般多面体网格。
• 构建保持连续外微分复形同调结构的离散外微分复形。
• 通过插值算子建立连续与离散外微分之间的交换性质。
• 证明离散与连续复形之间的多项式一致性和上同调同构性。
• 在任意多面体单元上支持稳定、高阶的数值格式用于PDE求解。

提出的方法

• 基于离散外微分与虚拟元方法的灵感，使用多面体方法构建离散外微分复形。
• 采用高层次、无基底的框架，在一般多面体单元上定义离散微分形式。
• 实现与连续和离散外微分均交换的插值算子。
• 利用Koszul微分与迹算子在离散设置中定义边界与限制性质。
• 通过验证离散形式能精确再现给定次数以内的多项式行为，建立多项式一致性。
• 证明离散复形的上同调与连续外微分复形的上同调同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于外微分几何原理，在一般多面体网格上构建离散外微分复形？
• RQ2 如何设计插值算子，使其在多面体单元上与连续和离散外微分均交换？
• RQ3 在多面体网格上，离散外微分复形中多项式一致性的保证条件是什么？
• RQ4 离散复形是否保持了连续外微分复形的上同调结构？
• RQ5 该框架能否支持在非匹配、复杂网格上稳定且高阶的数值方法？

主要发现

• 所提出的微分形式多面体复形是首次基于外微分几何将外微分复形推广至任意多面体网格的成果。
• 插值算子与连续及离散外微分均交换，确保了格式的一致性与稳定性。
• 离散复形表现出多项式一致性，即能精确再现给定次数以内的多项式形式。
• 离散复形的上同调与连续外微分复形的上同调同构，保持了拓扑结构。
• 该框架在某些网格上比标准有限元方法具有更少的自由度，从而实现了更紧凑的离散空间。
• 该方法支持任意阶精度，并适用于一般多面体单元，包括非匹配界面与复杂网格。