[论文解读] An index theorem for CR manifolds with $S^1$ action

Jih-Hsin Cheng, Chin-Yu Hsiao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 24被引用 7

一句话总结

该论文为配备有横截、局部自由的 $ S^1 $ 作用和刚性 CR 向量丛 $ E $ 的紧致 CR 流形（维度 $ 2n+1 $）建立了指标定理。它通过 $ E $ 的切向陈特征、$ T^{1,0}X $ 的切向 Todd 类以及 Levi 曲率的陈多项式，计算了 $ \bar\partial_b $-上同调群的 $ m $-阶傅里叶分量的欧拉示性数，从而实现了 CR 函数与截面的构造，并为川口的轨道化指标公式提供了几何重解释。

ABSTRACT

Let $(X, T^{1,0}X)$ be a compact CR manifold of dimension $2n+1$ with a transversal CR locally free $S^1$ action and let $E$ be a rigid CR vector bundle over $X$. For every $m\in\mathbb Z$, let $H^j_{b,m}(X,E)$ be the $m$-th $S^1$ Fourier coefficient of the $j$-th $\ddbar_b$ Kohn-Rossi cohomology group with values in $E$. In this paper, we prove that the Euler characteristic $\sum\limits^n_{j=0}(-1)^j{ m dim}H^j_{b,m}(X,E)$ can be computed in terms of the tangential Chern character of $E$, the tangential Todd class of $T^{1,0}X$, and the Chern polynomial of the Levi curvature of $X$. As applications, we can produce many CR functions on a weakly pseudoconvex CR manifold with such an $S^1$ action and many CR sections on some class of CR manifolds. In some cases, we can reinterpret Kawasaki's Hirzebruch-Riemann-Roch formula for a complex orbifold with an orbifold holomorphic line bundle by an integral over a smooth CR manifold.

研究动机与目标

• 推导出具有 $ S^1 $ 作用的 CR 流形上 $ \bar\partial_b $-上同调群的 $ m $-阶傅里叶分量的欧拉示性数的可计算公式。
• 建立 CR 不变量与特征类之间的关系，包括 $ E $ 的切向陈特征、$ T^{1,0}X $ 的切向 Todd 类以及 Levi 曲率的陈多项式。
• 将指标定理应用于构造具有此类 $ S^1 $ 作用的弱强伪凸 CR 流形上的非平凡 CR 函数。
• 通过在光滑 CR 流形上积分，重新解释川口的复轨道化流形的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式。

提出的方法

• 作者分析了在刚性 CR 向量丛 $ E $ 取值的 $ j $-阶 $ \bar\partial_b $-上同调群的 $ m $-阶 $ S^1 $ 傅里叶系数 $ H^j_{b,m}(X,E) $。
• 他们将 $ E $ 的切向陈特征和全纯切丛 $ T^{1,0}X $ 的切向 Todd 类作为指标公式中的核心特征类。
• CR 流形的 Levi 曲率通过其陈多项式编码，该多项式对指标表达式有贡献。
• 指标定理将欧拉示性数 $ \sum_{j=0}^n (-1)^j \dim H^j_{b,m}(X,E) $ 表示为包含这些特征类的全局积分。
• 该方法依赖于 $ S^1 $ 作用的横截性与刚性，从而将问题约化为特征类的计算。
• 该构造利用了 CR 结构与 $ S^1 $-等变性，将上同调不变量与几何数据联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有 $ S^1 $ 作用的 CR 流形上，用特征类表达 $ \bar\partial_b $-上同调群的 $ m $-阶傅里叶分量的欧拉示性数？
• RQ2 $ E $ 的切向陈特征与 $ T^{1,0}X $ 的切向 Todd 类在该指标计算中起什么作用？
• RQ3 该指标公式能否用于构造具有此类 $ S^1 $ 作用的弱强伪凸 CR 流形上的非平凡 CR 函数？
• RQ4 在多大程度上，可通过该指标定理从光滑 CR 流形积分恢复川口的复轨道化流形的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式？
• RQ5 Levi 曲率的陈多项式如何贡献于指标计算？

主要发现

• 欧拉示性数 $ \sum_{j=0}^n (-1)^j \dim H^j_{b,m}(X,E) $ 被计算为包含 $ E $ 的切向陈特征、$ T^{1,0}X $ 的切向 Todd 类以及 Levi 曲率的陈多项式的全局积分。
• 该指标公式使得在配备横截 $ S^1 $ 作用的弱强伪凸 CR 流形上构造大量 CR 函数成为可能。
• 该公式通过指标理论对上同调维数的控制，使得在某些类别的 CR 流形上产生大量 CR 截面成为可能。
• 在特定情形下，川口的复轨道化流形与全纯线丛的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式可通过该指标定理重新解释为在光滑 CR 流形上的积分。
• 该结果通过特征类理论，在轨道化指标理论与光滑 CR 几何之间建立了几何桥梁。
• 该定理精确建立了 CR 流形的 $ S^1 $-等变上同调与来自 CR 结构和丛数据的特征类之间的联系。