[论文解读] Morse inequalities for Fourier components of Kohn-Rossi cohomology of CR manifolds with $S^1$-action

Chin-Yu Hsiao, Xiaoshan Li|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文在具有横截CR $ S^1 $-作用的紧致CR流形（维度 $ 2n-1 $，$ n \geq 2 $）上，建立了Kohn-Rossi上同调的傅里叶分量的Morse不等式。通过分析这些分量的Szego核，作者得到了正傅里叶模的维数的渐近估计，证明了在某一点具有强伪凸性的弱伪凸CR流形存在丰富的CR函数，从而解决了关于 $ H^0_{b,m}(X) $ 增长性的一个关键问题。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected CR manifold of dimension $2n-1, n\geq 2$ with a transversal CR $S^1$-action on $X$. We study the Fourier components of the Kohn-Rossi cohomology with respect to the $S^1$-action. By studying the Szegö kernel of the Fourier components we establish the Morse inequalities on $X$. Using the Morse inequalities we have established on $X$ we prove that there are abundant CR functions on $X$ when $X$ is weakly pseudoconvex and strongly pseudoconvex at a point.

研究动机与目标

• 理解具有 $ S^1 $-作用的CR流形上Kohn-Rossi上同调的正傅里叶分量维数的渐近增长。
• 解决 $ \dim H^0_{b,m}(X) \approx m^{n-1} $ 在大 $ m $ 时成立的条件问题，该问题在CR嵌入问题中具有核心意义。
• 通过Morse型估计，证明在某一点为强伪凸的弱伪凸CR流形上，正傅里叶模中存在丰富的CR函数。

提出的方法

• 作者分析 $ \overline{\partial}_b $-复形的傅里叶分量的Szego核，以获得谱估计。
• 在局部坐标中应用缩放技术，研究S$^1$-作用基点附近Szego核的行为。
• 证明依赖于与 $ S^1 $-作用相适应的规范局部坐标，以及通过缩放极限提取主导阶渐近行为。
• 利用谱理论与微局部分析，建立当 $ m \to \infty $ 时Kohn-Rossi上同调的第 $ m $ 个傅里叶分量的弱与强Morse不等式。
• 作者分析了 $ S^1 $-作用的固定点集结构，并证明具有非平凡稳定子的点集测度为零且处处无处稠密。
• 关键技术步骤在于证明 $ \lim_{m \to \infty} m^{-(n-1)} |\alpha_{m,1}(p)|^2 = \frac{|\lambda_1(p) \cdots \lambda_{n-1}(p)|}{2\pi^n} $，从而给出Szego核的精确渐近增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对大 $ m $ 有 $ \dim H^0_{b,m}(X) \approx m^{n-1} $ 成立？
• RQ2 能否在具有 $ S^1 $-作用的CR流形上为Kohn-Rossi上同调的傅里叶分量建立Morse不等式？
• RQ3 在具有 $ S^1 $-作用的弱伪凸CR流形中，若存在一个强伪凸点，是否意味着正傅里叶模中存在丰富的CR函数？
• RQ4 $ S^1 $-作用如何影响CR流形上 $ \overline{\partial}_b $-复形的谱性质？
• RQ5 当 $ m \to \infty $ 时，第 $ m $ 个傅里叶分量的Szego核的精确渐近行为是什么？

主要发现

• 作者在具有横截CR $ S^1 $-作用的紧致CR流形上，建立了Kohn-Rossi上同调的第 $ m $ 个傅里叶分量的弱与强Morse不等式。
• 当 $ m $ 较大时，CR函数的第 $ m $ 个正傅里叶分量的维数满足 $ \dim H^0_{b,m}(X) \sim c \cdot m^{n-1} $，其中常数 $ c $ 依赖于强伪凸点处的Levi形式。
• 证明了极限 $ \lim_{m \to \infty} m^{-(n-1)} |\alpha_{m,1}(p)|^2 = \frac{|\lambda_1(p) \cdots \lambda_{n-1}(p)|}{2\pi^n} $，从而给出在强伪凸点 $ p $ 处Szego核的精确主导阶渐近行为。
• 具有非平凡 $ S^1 $-稳定子的点集测度为零且处处无处稠密，确保了渐近分析中正则点的普遍性。
• 本文证明，具有横截CR $ S^1 $-作用且在某点为强伪凸的紧致弱伪凸CR流形，其正傅里叶模中存在丰富的CR函数。
• Szego核的渐近增长由Levi形式的特征值控制，证实了强伪凸点处曲率的几何重要性。