[论文解读] An index theorem for higher orbital integrals

Peter Hochs, Yanli Song+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文为线性重新性李群的哈里什-钱德拉施瓦茨代数上的高阶循环上闭链与适当、共(compact) $G$-流形上椭圆微分算子的等变指标之间的配对，建立了完整的拓扑指标公式。通过抛物诱导和轨道积分技术，证明了这些配对完全由商空间 $X/N$ 上的拓扑不变量决定，推广了康奈斯-莫斯科维茨的 $L^2$-指标定理，并通过高阶轨道积分完整描述了 $K$-理论类。

ABSTRACT

Recently, two of the authors of this paper constructed cyclic cocycles on Harish-Chandra's Schwartz algebra of linear reductive Lie groups that detect all information in the $K$-theory of the corresponding group $C^*$-algebra. The main result in this paper is an index formula for the pairings of these cocycles with equivariant indices of elliptic operators for proper, cocompact actions. This index formula completely determines such equivariant indices via topological expressions.

研究动机与目标

• 为线性重新性李群上的适当、共(compact) $G$-流形上椭圆微分算子的等变指标提供完整的拓扑描述。
• 将康奈斯-莫斯科维茨的 $L^2$-指标定理推广至与抛物子群相关的高阶循环上闭链。
• 证明等变指标与高阶循环上闭链的配对能检测 $K_*(C^*_r(G))$ 中的所有信息。
• 为扭曲 $\mathrm{Spin}^c$-狄拉克算子建立一般指标公式，并将其推广至一般椭圆算子。
• 展示该公式在表示论、几何与拓扑中的应用，包括广义 $\hat{A}$-类作为正标量曲率度量存在的障碍。

提出的方法

• 该方法使用哈里什-钱德拉施瓦茨代数上的高阶循环上闭链，通过从 $P=MAN$ 子群的抛物诱导构造而成。
• 应用函数演算和 $\mathcal{C}(E)$ 中的算子，将 $X$ 上的指标与商空间 $X/N$ 上的指标联系起来。
• 证明依赖于通过 $M$-等变微分同胚和阿蒂yah–塞格尔–辛格不动点公式对 $X/N$ 上指标配对的重新表述。
• 关键组成部分包括 $\Phi^P_x$-上闭链的使用，其为轨道积分的高阶版本，以及通过类似迹的泛函与等变指标的配对。
• 该方法推广了康奈斯-莫斯科维茨在离散群上的技术，并扩展了霍克斯–王（2017）关于轨道积分的结果。
• 证明通过将 $X$ 上的指标配对约化为 $X/N$ 上的拓扑表达式完成，利用截面分解和 $M$-作用不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过拓扑不变量完全描述在适当、共(compact) $G$-流形上 $G$-不变椭圆微分算子的等变指标？
• RQ2 与抛物子群相关的高阶循环上闭链是否能检测线性重新性李群 $K_*(C^*_r(G))$ 中的所有信息？
• RQ3 等变指标与这些上闭链的配对如何与阿蒂yah–塞格尔–辛格或康奈斯-莫斯科维茨的 $L^2$-指标定理等经典指标定理相关联？
• RQ4 该指标公式能否从 $\mathrm{Spin}^c$-狄拉克算子推广至任意椭圆算子？
• RQ5 该公式对表示论有何影响，特别是关于离散系列表示和紧致卡坦子群？

主要发现

• 定理 2.1 建立了等变指标与高阶循环上闭链 $\Phi^P_x$ 配对的完整拓扑指标公式，适用于扭曲 $\mathrm{Spin}^c$-狄拉克算子。
• 配对 $\langle \Phi^P_x, \mathrm{ind}_G(D) \rangle$ 等于商空间 $X/N$ 上的 $M$-等变指标 $\mathrm{ind}_M(D_Y)(x)$，提供了拓扑表达式。
• 对于复半单群，该公式退化为阿蒂yah–塞格尔–辛格不动点公式，恢复了不可约表示的特征标。
• 在 $G=\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 的情形，配对给出特征标 $\frac{\sin((n+1)\alpha)}{\sin(\alpha)}$，确认了非等秩情形下的非平凡性。
• 该结果意味着存在紧致卡坦子群是离散系列表示存在的必要条件，恢复了哈里什-钱德拉经典结果的一半。
• 该公式通过广义 $\hat{A}$-类提供了 $G$-不变正标量曲率度量存在的非零障碍。