[论文解读] An index theorem for Lie algebroids

Arie Blom, Hessel Posthuma|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过构造Weyl代数层的费多索夫型解析，建立了李代数胚的指标定理，实现了从周期循环同调到李代数胚上同调的导出特征映射。关键结果表明，该映射在平凡循环上的取值为Todd–Chern特征类，推广了代数指标定理，并将Hochschild–Kostant–Rosenberg同构关系扩展至李代数胚的设定。

ABSTRACT

We study Lie algebroids from the point of view noncommutative geometry. More specifically, using ideas from deformation quantization, we use the PBW-theorem for Lie algebroids to construct a Fedosov-type resolution for the associated sheaves of Weyl algebras. This resolution enables us to construct a "character map" --in the derived category-- from the sheafified cyclic chain complexes to the Chevalley--Eilenberg complex of the Lie algebroid. The index theorem computes the evaluation of this map on the trivial cycle in terms of the Todd--Chern characteristic class. Finally, we show compatibility of the character map with the Hochschild--Kostant--Rosenberg morphism.

研究动机与目标

• 通过非交换几何与形变量子化方法，将代数指标定理推广至李代数胚的设定。
• 从李代数胚的普遍包络代数的周期循环同调，构造到其李代数胚上同调的导出特征映射。
• 在李代数胚的背景下，建立该特征映射与Hochschild–Kostant–Rosenberg同态的相容性。
• 通过Chern–Weil理论将循环余胞与特征类关联，将Riemann–Roch定理推广至李代数胚。

提出的方法

• 利用李代数胚的PBW定理，构造Weyl代数层的费多索夫型解析。
• 在导出范畴中定义从周期循环复形到扭曲Chevalley–Eilenberg复形的典范同态。
• 通过Chern–Weil同态，将联络的曲率形式与李代数胚上同调中的特征类关联。
• 通过插入算子 ι_π 的指数，将Hochschild余胞 τ₂ₙᴴᵒᶜʰ 扩展为循环余胞 τ₂ₙʷ。
• 利用求值映射 ev₁，将循环余胞与李代数上同调中的特征类关联。
• 应用局部Riemann–Roch定理，将循环余胞的求值与Todd–Chern类等同。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数指标定理如何推广至李代数胚的设定？
• RQ2 李代数胚的普遍包络代数的周期循环同调与其李代数胚上同调之间的确切关系为何？
• RQ3 Hochschild–Kostant–Rosenberg同态如何推广至李代数胚？其与特征映射的相容性如何？
• RQ4 特征类——特别是Todd类与Chern类——在李代数胚的指标定理中扮演何种角色？

主要发现

• 在普遍包络代数的周期循环复形与李代数胚的扭曲Chevalley–Eilenberg复形之间，存在一个导出范畴中的典范同态 Φ。
• 特征映射 Φ 限制在包含Hochschild–Kostant–Rosenberg同态、Todd类与局部自由模的Chern类的交换图上。
• 循环余胞 τ₂ₙʷ 在平凡循环上的求值等于Todd–Chern特征类，符合局部Riemann–Roch定理的陈述。
• 循环余胞 τ₂ₙʷ 关于李代数 𝔤𝔩(n,𝕂)⊕𝔤𝔩(r,𝕂) 的作用保持不变，证实其基本性与不变性。
• 通过导出特征映射，该构造将Bressler–Nest–Tsygan指标定理推广至任意李代数胚。
• 该方法为通过特征类将非交换循环同调与可交换李代数胚上同调联系起来，提供了框架。