[论文解读] Representations of semisimple Lie algebras in prime characteristic and noncommutative Springer resolution

Roman Bezrukavnikov, Ivan Mirković+1 more|Scholarworks (University of Massachusetts Amherst)|Jan 14, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 15

一句话总结

本文通过构造一个与Springer复叠导出等价的非交换余切丛的尼尔波滕锥的非交换余切丛，证明了李代数在素数特征下Lusztig猜想的大部分内容。利用Frobenius纯度以及与正特征局部化和几何Langlands对偶性的相容性，建立了Springer纤维的K-理论中一个典范基，该基控制了几乎所有素数下的表示数值。

ABSTRACT

We prove most of Lusztig's conjectures from the paper "Bases in equivariant K-theory II", including the existence of a canonical basis in the Grothendieck group of a Springer fiber. The conjectures also predict that this basis controls numerics of representations of the Lie algebra of a semi-simple algebraic group over an algebraically closed field of positive characteristic. We check this for almost all characteristics. To this end we construct a non-commutative resolution of the nilpotent cone which is derived equivalent to the Springer resolution. On the one hand, this noncommutative resolution is shown to be compatible with the positive characteristic version of Beilinson-Bernstein localization equivalences. On the other hand, it is compatible with the t-structure arising from the equivalence of Arkhipov-Bezrukavnikov with the derived category of perverse sheaves on the affine flag variety of the Langlands dual group, which was inspired by local geometric Langlands duality. This allows one to apply Frobenius purity theorem to deduce the desired properties of the basis. We expect the noncommutative counterpart of the Springer resolution to be of independent interest from the perspectives of algebraic geometry and geometric Langlands duality.

研究动机与目标

• 证明在素数特征下，半单李代数的Springer纤维的K-理论中存在一个典范基，该基控制表示理论的猜想。
• 建立该典范基控制代数闭域上正特征李代数表示的数值不变量。
• 构造一个与Springer复叠导出等价的尼尔波滕锥的非交换余切丛。
• 证明该非交换余切丛与正特征局部化等价关系以及由几何Langlands对偶性导出的t-结构相容。
• 应用Frobenius纯度定理，推导出K-理论中典范基的期望性质。

提出的方法

• 通过旗流形余切丛上的t-结构，利用与Springer复叠的导出等价性，构造尼尔波滕锥的非交换余切丛。
• 利用仿射辫群在正特征下形式邻域上零截面的凝聚层导出范畴上的作用。
• 在$T^*(G/B)$上定义奇异t-结构和辫正t-结构，并将其与$U\frak{g}_\bk$-模上的表示论t-结构联系起来。
• 通过基变换以及与DG-概形和卷积运算的相容性，将t-结构从正特征提升至特征零。
• 应用BBD的Frobenius纯度定理，推导出K-理论中典范基在对合作用下不变，并满足性质$({\boldsymbol{\flat}})$。
• 利用等变局部化和Slodowy截面技术，提升正特征下的不可约模与投射模，确保K-群中的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Springer纤维的K-理论是否允许一个典范基，该基控制$U\frak{g}_\bk$在素数特征下的表示理论？
• RQ2 能否构造一个与Springer复叠导出等价且与正特征局部化相容的尼尔波滕锥的非交换余切丛？
• RQ3 在$T^*(G/B)$上的t-结构，特别是奇异t-结构和辫正t-结构，如何与$U\frak{g}_\bk$-模上的表示论t-结构相关联？
• RQ4 K-理论中的典范基在由扩展中心化子和Langlands对偶群诱导的对合作用下，其不变性在多大程度上保持？
• RQ5 在什么条件下，Springer纤维的K-理论满足性质$({\boldsymbol{\flat}})$，从而可将Lusztig的猜想约化为一个正特征下的纯度陈述？

主要发现

• 本文证明了Lusztig关于在几乎所有素数$p > h$下，Springer纤维的K-理论中存在典范基的猜想。
• 构造了一个与Springer复叠导出等价且与正特征局部化函子相容的尼尔波滕锥的非交换余切丛。
• 证明了$T^*(G/B)$上的奇异t-结构等价于某个非交换代数$A$上模的t-结构，从而提供了非交换Springer复叠。
• 应用Frobenius纯度定理，证明了典范基在由扩展中心化子和Langlands对偶群诱导的对合作用下保持不变。
• Springer纤维的K-理论满足性质$({\boldsymbol{\flat}})$，这使得Lusztig的猜想可约化为正特征下的一个纯度陈述。
• 对于$p \gg 0$，证明了K-理论中的典范基不依赖于$p$的选择，且在大素数下，K-理论的结构保持一致。