[论文解读] An infinite dimensional Schur-Horn theorem and majorization theory with applications to operator ideals

Victor Kaftal, Gary Weiss|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文通过无穷大控制条件，将经典的Schur-Horn定理推广至无限维情形，刻画了具有给定特征值序列和对角线序列的正紧算子的存在性。关键结果表明，对于非增且非可 summable 并收敛于零的序列，此类算子存在当且仅当对角线序列在无穷意义下被特征值序列控制，或等价地，对角线序列是由正交双随机矩阵作用于特征值序列所得。

ABSTRACT

The main result of this paper is the extension of the Schur-Horn Theorem to infinite sequences: For two nonincreasing nonsummable sequences x and y that converge to 0, there exists a compact operator A with eigenvalue list y and diagonal sequence x if and only if y majorizes x (\sum_{j=1}^n x_j \le \sum_{j=1}^n y_j for all n) if and only if x = Qy for some orthostochastic matrix Q. The similar result requiring equality of the infinite series in the case that the sequences x and y are summable is an extension of a recent theorem by Arveson and Kadison. Our proof depends on the construction and analysis of an infinite product of T-transform matrices. Further results on majorization for infinite sequences providing "intermediate" sequences generalize known results from the finite case. Majorization properties and invariance under various classes of stochastic matrices are then used to characterize arithmetic mean closed operator ideals.

研究动机与目标

• 将有限维情形下的Schur-Horn定理推广至正紧算子的特征值与对角线的无限序列。
• 通过无穷大控制条件刻画此类算子的存在性，特别关注非可求和与可求和情形。
• 建立控制理论、随机矩阵（尤其是正交双随机矩阵）与算术平均闭算子理想结构之间的联系。
• 将有限维控制结果（如中间序列定理与尾部控制）推广至无限序列。
• 刻画在特定类随机矩阵下不变的算子理想，并将其与算术平均闭性联系起来。

提出的方法

• 引入并分析无穷个T-变换矩阵的乘积，以从特征值序列构造所需的算子对角线。
• 定义并应用无穷序列的新控制关系：控制（$\xi \prec \eta$）、强控制（$\xi \preccurlyeq \eta$）、块控制（$\xi \prec_b \eta$）以及无穷大控制（$\xi \prec_\infty \eta$）。
• 利用Birkhoff定理将有限双随机矩阵表示为置换矩阵的凸组合，进而将其推广至无穷块随机矩阵。
• 构造块随机矩阵 $P = \bigoplus_k t_k P_k$，其中 $t_k > 0$，$\sum t_k = 1$，且 $P_k$ 为有限双随机矩阵，以建模无限维随机作用。
• 应用正交双随机矩阵理论（正交矩阵的平方）刻画无限维希尔伯特空间中自伴算子的对角线-特征值对应关系。
• 证明算子理想在块随机矩阵与一般随机矩阵下不变，并将其与算术平均闭性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维情形下，给定非增特征值序列 $\eta$ 与非增对角线序列 $\xi$，在何种条件下存在一个正紧算子？
• RQ2 经典Schur-Horn定理如何推广至无限序列，特别是当序列非可求和且收敛于零时？
• RQ3 正交双随机矩阵在刻画无限维希尔伯特空间中自伴算子对角线序列方面起什么作用？
• RQ4 控制关系（尤其是强控制与无穷大控制）如何刻画算术平均闭算子理想的结构？
• RQ5 在何种条件下，算子理想在块随机矩阵下不变，从而实现算术平均闭性？

主要发现

• 对于收敛于零的非增非可求和序列 $\xi, \eta \in c_0^*$，存在一个具有特征值列表 $\eta$ 和对角线 $\xi$ 的正紧算子，当且仅当对所有 $n \in \mathbb{N}$，有 $\sum_{j=1}^n \xi_j \leq \sum_{j=1}^n \eta_j$，即 $\xi \prec \eta$。
• 当 $\xi, \eta \in (\ell^1)^*$ 为可求和序列时，上述刻画成立当且仅当 $\xi \prec \eta$ 且 $\sum_{j=1}^\infty \xi_j = \sum_{j=1}^\infty \eta_j$，这推广了Arveson与Kadison的结果。
• 对角线序列 $\xi$ 由特征值序列 $\eta$ 通过正交双随机矩阵 $Q$ 得到，当且仅当 $\xi \prec \eta$，这推广了有限维情形下的Horn定理。
• 在控制关系下，对无限序列，证明了中间序列 $\zeta$ 与 $\rho$ 的存在性，使得 $\xi \preccurlyeq \zeta \leq \eta$ 且 $\xi \leq \rho \preccurlyeq \eta$。
• 证明了在类 $\mathscr{C}$ 的块随机矩阵下不变的软边或软补算子理想，必为算术平均闭。
• 本文构造了一个反例（Varga的理想），其在 $\mathscr{C}$ 下不变但非算术平均闭，表明软边或软补条件对算术平均闭性是必要的。