[论文解读] An infinite loop space machine for infinity-operads

Gijs Heuts|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文通过在树形集合与 E∞-空间之间建立一个 Quillen 等价性，构建了 ∞-operads 的无限循环空间机器，该等价性基于树形集合在 E∞ 上的协变模型结构与 E∞-空间上的投影模型结构之间的 Quillen 等价性。关键结果是 E∞-空间的同伦理论作为 ∞-operads 同伦理论的左 Bousfield 局部化而出现，将经典的 Kan-Quillen 模型结构推广至树形集合。

ABSTRACT

This paper describes a consequence of the more general results of a previous paper which is of independent interest. We construct a functor from the category of dendroidal sets, which models the theory of infinity-operads, into the category of E-infinity-spaces. Applying May's infinite loop space machine for E-infinity-spaces then gives an infinite loop space machine for infinity-operads. We show that our machine exhibits the homotopy theory of E-infinity-spaces as a localization of the homotopy theory of infinity-operads.

研究动机与目标

• 建立从 ∞-operads 系统化构造无限循环空间的方法，将经典无限循环空间机器推广至 ∞-operads 的设定。
• 在树形集合在 E∞ 上的范畴上定义协变模型结构，该结构推广了单纯集上的 Kan-Quillen 模型结构。
• 证明由此产生的 E∞-空间同伦理论是 ∞-operads 同伦理论的左 Bousfield 局部化。
• 证明从树形集合在 E∞ 上到 E∞-空间的规整化函子诱导出一个 Quillen 等价性，从而实现无限循环空间结构的转移。

提出的方法

• 该构造使用终端树形集合的纤维上同调余逼近 E∞，其代表交换 operad。
• 在范畴 dSets/E∞ 上定义协变模型结构，将 Kan-Quillen 模型结构推广至树形集合。
• 规整化函子被定义为 Lurie 的单纯集规整化的一般化，将树形集合在 E∞ 上映射至 simplicial operad hcτd(E∞) 的代数。
• 证明规整化函子在 dSets/E∞ 配备协变模型结构与 E∞-空间配备投影模型结构之间诱导出一个 Quillen 等价性。
• 证明协变模型结构是 dSets/E∞ 上 Cisinski-Moerdijk 模型结构的左 Bousfield 局部化。
• 通过一组生成的左内射态射（包括内部锥面包含与树的叶插入）刻画该局部化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用树形集合框架为 ∞-operads 构建无限循环空间机器？
• RQ2 在树形集合于 E∞ 上的哪种模型结构能实现 E∞-空间的同伦理论？
• RQ3 从树形集合于 E∞ 上到 E∞-空间的规整化函子是否为 Quillen 等价性？
• RQ4 dSets/E∞ 上的协变模型结构与 Cisinski-Moerdijk 模型结构之间有何关系？
• RQ5 协变模型结构能否被描述为 Cisinski-Moerdijk 模型结构的左 Bousfield 局部化？

主要发现

• dSets/E∞ 上的协变模型结构是 Cisinski-Moerdijk 模型结构的左 Bousfield 局部化，其局部化由一组生成的左内射态射确定。
• 规整化函子在 dSets/E∞ 配备协变模型结构与 E∞-空间配备投影模型结构之间诱导出一个 Quillen 等价性。
• 协变模型结构中的纤维对象恰好是树形 Kan 复形，其为 Kan 复形在树形设定下的推广。
• 协变模型结构推广了经典的 Kan-Quillen 模型结构于单纯集上，其证据为同构 dSets/η ≅ sSets 保持模型结构。
• 协变模型结构中的纤维对象满足所有单枝冠状体为等价态射，这意味着其底层面的单纯集为 Kan 复形。
• E∞-空间的同伦理论被实现为 ∞-operads 同伦理论的局部化，确认 E∞-空间构成 ∞-operads ∞-范畴的全子范畴。