[论文解读] An integer valued bi-invariant metric on the group of contactomorphisms of R^2n x S^1

Sheila Sandon|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文在紧支集接触同胚群 $\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1)$ 上构造了一个取整数值的双不变度量，该群同胚同伦于恒等映射，通过生成函数扩展了Viterbo的辛度量。该度量无界，且与Bhupal偏序相容，揭示了接触几何中具有离散能量值的新刚性现象。

ABSTRACT

In his 1992 article on generating functions Viterbo constructed a bi-invariant metric on the group of compactly supported Hamiltonian symplectomorphisms of R^2n. Using the set-up of arXiv:0901.3112 we extend the Viterbo metric to the group of compactly supported contactomorphisms of R^2n x S^1 isotopic to the identity. We also prove that the contactomorphism group is unbounded with respect to this metric.

研究动机与目标

• 通过生成函数将Viterbo的辛双不变度量扩展到 $\mathbb{R}^{2n} \times S^1$ 上的接触设置。
• 在 $\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1)$ 上定义一个仅取整数值的双不变度量。
• 证明该度量无界，表明该群在此几何结构下并非有界。
• 建立度量与Bhupal偏序之间的相容性，确保正同胚族下能量的单调性。
• 通过在非紧接触流形上构造离散度量，阐明整数在接触刚性中的作用。

提出的方法

• 将 [S09] 中的生成函数框架适配于 $\mathbb{R}^{2n} \times S^1$ 上的接触同胚，定义不变量 $c^+$ 和 $c^-$。
• 利用取整数值的 $c^+$ 和 $c^-$ 不变量，构造度量 $d(\phi, \psi) = \lceil c^+(\phi \circ \psi^{-1}) \rceil + \lceil c^+(\psi \circ \phi^{-1}) \rceil$。
• 利用 $c^+$ 非负且 $c^-$ 非正的性质（对紧支集接触同胚成立），该性质依赖于存在位于支集之外的点。
• 应用能量-容量不等式，将度量与 [S09] 中定义的接触容量 $c$ 联系起来，确保其几何意义。
• 通过构造一列接触同胚，使其能量随哈密顿函数增长而趋于任意大的整数，从而证明无界性。
• 证明该度量不是精细的（因其取离散值），也不同于平凡范数，尽管它并非稳定无界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Viterbo的辛双不变度量能否被扩展到 $\mathbb{R}^{2n} \times S^1$ 上的接触同胚群？
• RQ2 此类扩展是否产生仅取整数值的度量，从而反映接触刚性的离散本质？
• RQ3 所得度量是否无界，表明接触群中存在非平凡的几何复杂性？
• RQ4 该度量如何与Bhupal偏序相互作用，是否在正同胚族下保持能量的单调性？
• RQ5 为何该构造在1维情形（$n=0$）下失效，这对一般理论有何启示？

主要发现

• 群 $\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1)$ 允许一个取整数值的双不变度量 $d$，且该度量无界。
• 该度量 $d$ 通过生成函数构造，满足 $d(\phi, \psi) = \lceil c^+(\phi \psi^{-1}) \rceil + \lceil c^+(\psi \phi^{-1}) \rceil$，其中 $c^+$ 和 $c^-$ 通过Legendrian提升与生成函数定义。
• 该度量与Bhupal偏序 $\leq_B$ 相容，使得 $(\mathrm{Cont}_0^c(\mathbb{R}^{2n} \times S^1), d)$ 成为一个偏序度量空间。
• 沿由非负哈密顿函数生成的同胚族，能量不会减少，这是与 $\leq_B$ 相容的直接结果。
• 该度量无界，因为通过增加其生成哈密顿函数的增长，可使一列接触同胚的能量趋于任意大的整数。
• 尽管该度量无界，但并非稳定无界，因为对所有 $\phi$，有 $\lim_{n \to \infty} \frac{E(\phi^n)}{n} = 0$。