[论文解读] An introduction to the categorical p-adic Langlands program

Matthew Emerton, Toby Gee+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2022

advanced mathematical theories被引用 4

一句话总结

本文引入了 $p$-进朗兰兹纲领的范畴方法，通过 $(\varphi,\Gamma)$-模的模堆栈与导出代数几何，统一了巴拿赫与解析设置。它建立了一个框架，通过稳定 $\infty$-范畴与导出表示堆栈，将 $p$-进伽罗瓦表示与自守形式联系起来，关键结果涉及 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 及对典型层上同调的全局应用。

ABSTRACT

We give an introduction to the "categorical" approach to the p-adic Langlands program, in both the "Banach" and "analytic" settings.

研究动机与目标

• 开发 $p$-进朗兰兹对应关系的范畴框架，统一巴拿赫与解析设置。
• 将泰勒–威尔斯修补方法推广至 $p$-进霍奇理论中的导出与范畴结构。
• 通过导出模堆栈与稳定 $\infty$-范畴，将伽罗瓦表示与自守形式联系起来。
• 利用全局范畴朗兰兹函子与特征簇，计算典型簇的上同调。
• 通过导出表示堆栈的余切复形，建立群上同调的导出解释。

提出的方法

• 在解析设置下，于罗巴环上构造 $(\varphi,\Gamma)$-模的模堆栈；在巴拿赫设置下，于巴拿赫代数上构造。
• 使用伽罗瓦群的单纯化解定义导出表示堆栈 $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$，其余切复形为 $\mathbf{L}_{\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}},\rho} = C^{\bullet}(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho)^*[-1]$。
• 应用导出代数几何，通过导出切空间与拟光滑性，解释群上同调。
• 利用稳定 $\infty$-范畴与 ind-代数堆栈上的 ind-凝聚层，形式化范畴对应关系。
• 利用莫里塔理论与形式堆栈上的拟凝聚层，关联 Hecke 代数与全局自守形式。
• 应用法尔格斯–舒尔泽猜想与 $C$-群构造，将 $\ell \neq p$ 的朗兰兹参数与 $p$-进对象关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $(\varphi,\Gamma)$-模，在范畴化与导出框架下重新表述 $p$-进朗兰兹对应？
• RQ2 伽罗瓦表示的模堆栈的导出结构是什么？它与群上同调有何关联？
• RQ3 特征簇与超越收敛的 $p$-进自守形式如何从范畴朗兰兹函子中导出？
• RQ4 导出表示堆栈以何种方式编码 $\mathrm{GL}_2$ 的局部与全局朗兰兹对应？
• RQ5 如何利用全局朗兰兹参数的模堆栈与导出层论，计算典型簇的上同调？

主要发现

• 导出表示堆栈 $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$ 的余切复形为 $\mathbf{L}_{\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}},\rho} = C^{\bullet}(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho)^*[-1]$，将伽罗瓦上同调与导出几何联系起来。
• 对于 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$，范畴化的 $p$-进局部朗兰兹对应通过半正交分解与 $(\varphi,\Gamma)$-模的导出范畴实现。
• 当 $H^i(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho) = 0$ 对所有 $i > 2$ 成立时，模堆栈 $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$ 在 $\rho$ 附近是拟光滑的，表明其具有局部导出完备交结构。
• 在全局情形下，$\mathrm{Sh}_{\mathrm{GL}_2, \mathbb{Q}, S}^{\mathrm{odd}}$ 的上同调通过全局到局部映射与超越收敛 $p$-进自守形式的特征簇计算得出。
• $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$ 的结构与单纯化解 $\Gamma_{\bullet}$ 的选择无关，确保在 $\infty$-范畴框架下的良好定义性。
• 该框架将 $p$-进朗兰兹对应实现为模堆栈上层的稳定 $\infty$-范畴之间的函子，对丰坦–莫祖尔猜想具有应用。