[论文解读] Gauge Theory and Langlands Duality

Edward Frenkel|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用 25

一句话总结

本文在数学中的几何朗兰兹纲领与四维N=4超对称 gauge 理论中的S对偶性之间建立了深刻的联系，表明 gauge 理论的电荷-磁荷对偶性精确对应于半单群的朗兰兹对偶性。其关键贡献是通过拓扑量子场论和希钦系统的镜像对称，物理地实现了几何朗兰兹对应。

ABSTRACT

The Langlands Program was launched in the late 60s with the goal of relating Galois representations and automorphic forms. In recent years a geometric version has been developed which leads to a mysterious duality between certain categories of sheaves on moduli spaces of (flat) bundles on algebraic curves. Three years ago, in a groundbreaking advance, Kapustin and Witten have linked the geometric Langlands correspondence to the S-duality of 4D supersymmetric gauge theories. This and subsequent works have already led to striking new insights into the geometric Langlands Program, which in particular involve the Homological Mirror Symmetry of the Hitchin moduli spaces of Higgs bundles on algebraic curves associated to two Langlands dual Lie groups.

研究动机与目标

• 探索朗兰兹纲领与量子场论中S对偶性之间深刻的数学与物理对偶性。
• 通过朗兰兹对偶性的统一概念，建立数论与量子规范场论之间的桥梁。
• 证明几何朗兰兹对应自然地源于拓扑N=4杨-米尔斯理论中的S对偶性。
• 表明希钦模空间的镜像对称编码了几何朗兰兹对应。
• 以量子场论中的电荷-磁荷对偶性为出发点，给出朗兰兹对偶群的物理解释。

提出的方法

• 通过N=4超对称杨-米尔斯理论的拓扑扭曲，在四维流形上构造一个拓扑量子场论（TQFT）。
• 应用维数约化，将4D TQFT与希钦模空间上的2D sigma 模型联系起来。
• 利用希钦系统，该系统参数化黎曼曲面上的Higgs丛，作为对偶性的基础模空间。
• 采用Kapustin-Witten构造，将几何朗兰兹对应识别为范畴化的S对偶性。
• 应用镜像对称，关联群G与它的朗兰兹对偶{}^{L}G的Higgs丛模空间。
• 借助几何设定下自守层与伽罗瓦表示之间的对应，通过朗兰兹纲领实现对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 N=4超对称 gauge 理论中的S对偶性如何与半单群的朗兰兹对偶性相关？
• RQ2 几何朗兰兹对应能否从量子场论中的物理原理推导而出？
• RQ3 希钦模空间在通过镜像对称实现朗兰兹对应的过程中起什么作用？
• RQ4 gauge 理论中的电荷-磁荷对偶性在数学上如何对应于朗兰兹对偶群？
• RQ5 几何朗兰兹对应在拓扑场论与范畴化对偶性的术语下具有何种物理意义？

主要发现

• 几何朗兰兹对应在N=4超杨-米尔斯理论的拓扑扭曲中被实现为S对偶性。
• 群G的Higgs丛模空间与它的朗兰兹对偶{}^{L}G的模空间互为镜像对偶，从而实现了几何朗兰兹对应。
• Kapustin-Witten构造通过线算符与Hecke特征层之间的对应，为几何朗兰兹对应提供了物理推导。
• S对偶变换(G, g) ↔ ({}^{L}G, 1/g) 将一个规范理论的弱耦合区映射到其对偶的强耦合区，从而实现非微扰洞察。
• 在几何设定下，自守层与伽罗瓦表示之间的对应通过量子场论的对偶性被物理实现。
• 几何朗兰兹对应的有分支版本由规范理论中的表面算符与极点捕获，如Gukov与Witten后续工作所示。