[论文解读] An introduction to the mechanics of black holes

Geoffrey Compère|ArXiv.org|Nov 24, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文使用几何与变分方法，对广义相对论中的黑洞力学零定律、第一定律和第二定律提供了自包含的推导。通过广义诺特定理建立第一定律，并证明了在基灵视界上的表面引力为常数，从而将黑洞热力学与引力理论中的守恒定律联系起来。

ABSTRACT

These notes provide a self-contained introduction to the derivation of the zero, first and second laws of black hole mechanics. The prerequisite conservation laws in gauge and gravity theories are also briefly discussed. An explicit derivation of the first law in general relativity is performed in appendix.

研究动机与目标

• 提供黑洞力学零定律、第一定律和第二定律的教科书式、自包含推导。
• 阐明基灵视界与事件视界在定义平衡黑洞态中的作用。
• 通过广义诺特定理，将引力与规范理论中的守恒定律与黑洞热力学联系起来。
• 利用度规和基灵矢量场的变分，在爱因斯坦引力中推导黑洞力学第一定律。
• 将形式化方法扩展至电磁场和一般引力理论，证明其与热力学类比的一致性。

提出的方法

• 利用广义诺特定理推导引力与规范理论中对称性相关的守恒流与荷。
• 应用雷乔伊方程分析零超曲面上的测地线族，确立事件视界的性质。
• 将事件视界定义为未来无穷远未来光锥的因果过去边界的闭包，即 $\mathcal{H} = \overline{J^{-}(\mathcal{I}^{+})} - J^{-}(\mathcal{I}^{+})$。
• 通过零能量条件和零测地线上的膨胀行为推导面积定理，证明 $\delta \mathcal{A} \geq 0$。
• 将基灵视界定义为基灵矢量场切于其且为零的零超曲面，从而定义表面引力 $\kappa$。
• 对作用量和度规在微扰下进行变分，利用协变导数和视界上的诱导几何计算 $\delta \kappa$。

实验结果

研究问题

• RQ1 黑洞力学第一定律如何从广义相对论中的变分原理推导得出？
• RQ2 在基灵视界上表面引力保持常数的条件是什么？这与零定律有何关联？
• RQ3 引力理论中的守恒定律（如诺特定理所给出者）如何与黑洞热力学相关联？
• RQ4 广义诺特流在推导黑洞第一定律中起什么作用？
• RQ5 第一定律如何推广至包含电磁场和其他引力理论？

主要发现

• 第一定律被推导为 $\delta M = \frac{\kappa}{8\pi G} \delta \mathcal{A} + \Omega \delta J + \dots$，其中 $\delta M$ 为质量的变化，$\delta \mathcal{A}$ 为视界面积的变化，$\kappa$ 为表面引力。
• 对于静态黑洞，表面引力 $\kappa$ 在视界上为常数，这确立了黑洞力学的零定律。
• 面积定理指出，在经典演化下，视界面积 $\mathcal{A}$ 不减小，即 $\delta \mathcal{A} \geq 0$，条件是满足零能量条件。
• 通过度规和基灵矢量场的变分，显式计算了表面引力的变分 $\delta \kappa$，得到 $\delta \kappa = -\frac{1}{2} \delta g_{\mu\nu}^{\ ;\mu} \xi^\nu + \dots$，其中包含视界上的诱导协变导数项。
• 通过Komar积分和诺特流的变分验证了第一定律，表明 $\oint_H K_{\delta\xi}[g] = \oint_H \xi \cdot \Theta[\delta g; g] - \frac{\delta \mathcal{A}}{8\pi G} \delta \kappa$。
• 推导假设 $\delta(\partial_t)^\mu = \delta(\partial_\varphi)^\mu = 0$，从而得到仅涉及度规和角速度变分的 $\delta \kappa$ 简化表达式。