[论文解读] An Invariance Principle for New Weakly Dependent Stationary Models using Sharp Moment Assumptions

Paul Doukhan, Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用 2

一句话总结

本文在一种新的、更广泛的依赖条件下，为平稳、弱依赖序列建立了精确的弱不变性原理，该条件超越了混合性与因果α-和β-弱依赖。通过引入混合γ-弱依赖条件并使用非因果耦合，实现了在二阶以上矩条件下的收敛速率，优于以往要求四阶矩的结果。

ABSTRACT

This paper is aimed at sharpen a weak invariance principle for stationary sequences in Doukhan & Louhichi (1999). Our assumption is both beyond mixing and the causal ?-weak dependence in Dedecker and Doukhan (2003); those authors obtained a sharp result which improves on an optimal one in Doukhan {\it et alii} (1995) under strong mixing. We prove this result and we also precise convergence rates under existence of moments with order >2 while Doukhan & Louhichi (1999) assume a moment of order >4. Analogously to those authors, we use a non-causal condition to deal with some general classes of stationary and weakly dependent sequences. Besides the previously used ?- and ?-weak dependence conditions, we introduce a mixed condition, ?, adapted to consider Bernoulli shifts with dependent inputs.

研究动机与目标

• 将弱不变性原理扩展到超越混合性和因果依赖结构的更广泛弱依赖平稳序列类。
• 将矩条件假设从Doukhan & Louhichi (1999)中的>4阶放松至>2阶，改进收敛速率结果。
• 提出一种适用于处理具有依赖输入的伯努利位移的新混合γ-弱依赖条件。
• 建立一种非因果耦合框架，使在最小矩条件下实现更精确的收敛速率成为可能。

提出的方法

• 提出一种结合α-与β-弱依赖特征的新γ-弱依赖条件，使能够分析伯努利位移中依赖输入过程的结构。
• 采用非因果耦合技术，控制依赖结构，而无需依赖过程的因果顺序。
• 应用精确的矩假设（矩阶>2），在泛函中心极限定理框架下推导收敛速率。
• 借鉴并改进Doukhan & Louhichi (1999)的技术，将其扩展至更广泛的弱依赖过程类。
• 利用耦合论证控制部分和与布朗运动路径之间的差异，确保紧密的收敛速率。
• 在严格推广混合性和因果弱依赖的依赖结构下建立不变性原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱不变性原理能否被扩展至满足超越强混合性及因果α-或β-弱依赖条件的平稳序列？
• RQ2 是否可能在矩阶>2而非>4的假设下实现不变性原理中的收敛速率？
• RQ3 如何利用非因果耦合框架处理包括具有依赖输入在内的广义弱依赖序列类？
• RQ4 分析由依赖创新驱动的伯努利位移时，需要何种新的依赖条件？
• RQ5 当放松矩和依赖假设时，不变性原理的精确性是否仍可保持？

主要发现

• 本文在一种新的γ-弱依赖条件下，为平稳序列建立了精确的弱不变性原理，该条件同时推广了混合性和因果α-与β-弱依赖。
• 在矩阶>2的假设下推导出收敛速率，优于Doukhan & Louhichi (1999)中要求的>4阶矩。
• 非因果耦合框架使对广义平稳序列（包括具有依赖输入的伯努利位移）的分析成为可能。
• 新提出的γ-弱依赖条件特别适用于输入过程非独立的情形，从而将适用范围扩展至更广泛的时间序列模型。
• 该结果在矩和依赖假设方面，均优于Doukhan & Louhichi (1999)和Dedecker & Doukhan (2003)的先前发现。
• 该框架提供了一种统一的方法，在广度、矩要求和收敛速率精度方面均优于现有结果。