[论文解读] An invariant of link cobordisms from symplectic Khovanov homology

Jack W. Waldron|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 11

一句话总结

本文利用辛Kronheimer同调构造了R⁴中光滑链cobordism的函子性不变量，定义了符号歧义性下的辛Kronheimer同调群之间的映射。它将Seidel的相对不变量推广至具有非紧奇点集的精确Morse-Bott-Lefschetz纤维化，证明这些映射在cobordism的同伦下不变，从而为辛Kronheimer同调建立了拓扑量子场论结构。

ABSTRACT

Symplectic Khovanov homology is an invariant of oriented links defined by Seidel and Smith and conjectured to be isomorphic to Khovanov homology. I define morphisms (up to a global sign ambiguity) between symplectic Khovanov homology groups, corresponding to isotopy classes of smooth link cobordisms in 4D between a fixed pair of links. These morphisms define a functor from the category of links and such cobordisms to the category of abelian groups and group homomorphisms up to a sign ambiguity. This provides an extra structure for symplectic Khovanov homology and more generally an isotopy invariant of smooth surfaces in 4D; a first step in proving the conjectured isomorphism of symplectic Khovanov homology and Khovanov homology. The maps themselves are defined using a generalisation of Seidel's relative invariant of exact Lefschetz fibrations to exact Morse-Bott-Lefschetz fibrations with non-compact singular loci.

研究动机与目标

• 通过辛Kronheimer同调定义R⁴中光滑链cobordism的函子性不变量。
• 将Seidel对精确Lefschetz纤维化的相对不变量推广至非紧奇点集和Morse-Bott退化的情形。
• 证明辛Kronheimer同调上诱导的映射在cobordism的同伦下不变，至多存在全局符号歧义。
• 通过为辛Kronheimer同调赋予函子性结构，为证明其与Kronheimer同调之间猜想的同构关系迈出第一步。

提出的方法

• 将Seidel对精确Lefschetz纤维化的相对不变量推广至具有非紧奇点集的精确Morse-Bott-Lefschetz纤维化。
• 在辛关联丛上构造一个正则的S¹-等变几乎复结构，以确保全纯曲线的正则性。
• 利用纤维的全纯截面在Morse-Bott情形下定义相对不变量。
• 通过将链cobordism实现为R³×[0,1]中的同伦类，并利用广义不变量定义映射，将该构造应用于辛Kronheimer同调。
• 通过证明对电影移动（movie moves）和同伦（包括交换移动和稳定/不稳定化）的不变性，建立函子性。
• 使用桥图和鞍形cobordism作为基本构件，通过复合定义一般光滑cobordism的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 辛Kronheimer同调能否在R⁴中的光滑链cobordism下赋予函子性结构？
• RQ2 Seidel对精确Lefschetz纤维化的相对不变量如何推广至处理非紧奇点集和Morse-Bott退化？
• RQ3 辛Kronheimer同调上诱导的映射在cobordism的同伦下是否不变，至多存在符号歧义？
• RQ4 该构造能否用于证明辛Kronheimer同调与Kronheimer同调之间猜想的同构关系？
• RQ5 通过cobordism定义的映射是否满足拓扑量子场论的公理？

主要发现

• 本文构造了在R³×[0,1]中光滑链cobordism的同伦类上，辛Kronheimer同调群之间的良好定义映射，至多存在全局符号歧义。
• 这些映射在cobordism的同伦下不变，包括电影移动10和12以及交换移动，确保了不同图示表示之间的一致性。
• 该构造证明了辛Kronheimer同调在从链与光滑cobordism范畴到阿贝尔群与同态范畴（至多符号歧义）的函子性结构下成立。
• 稳定化与不稳定化映射被证明至多符号歧义下互为逆映射，确认了cobordism演算的一致性。
• 由创建、消去和鞍形cobordism诱导的映射在交叉图的辛Kronheimer同调上良好定义，且不依赖于代表曲线的选择。
• 由于构造的局部性，远距离cobordism交换的不变性是直接成立的，确认了该不变量的TQFT类行为。