[论文解读] An Isotopic Perturbation Lemma Along Periodic Orbits

Nicolas Gourmelon|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文为 $C^1$-微分同胚建立了弗兰克斯同伦扰动引理的改进版本，表明若沿周期轨道的线性柯西积路径保持固定维数的强稳定/不稳定方向，则该扰动可被构造为同时保持相应的半局部稳定与不稳定流形。关键贡献在于提出一种路径同伦扰动技术，可在 $C^1$-扰动下保持不变流形，从而实现对 $C^1$-典型动力系统中同宿结构的控制。

ABSTRACT

A well-known lemma by John Franks asserts that one obtains any perturbation of the derivative of a diffeomorphism along a periodic orbit by a $C^1$-perturbation of the whole diffeomorphism on a small neighbourhood of the orbit. However, one does not control where the invariant manifolds of the orbit are, after perturbation. We show that if the perturbated derivative is obtained by an isotopy along which some strong stable/unstable manifolds of some dimensions exist, then the Franks perturbation can be done preserving the corresponding stable/unstable semi-local manifolds. This is a general perturbative tool in $C^1$-dynamics that has many consequences. We give simple examples of such consequences, for instance a generic dichotomy between dominated splitting and small stable/unstable angles inside homoclinic classes.

研究动机与目标

• 解决弗兰克斯原始引理中 $C^1$-扰动后不变流形难以控制的问题。
• 开发一种在周期轨道上扰动时保持半局部稳定与不稳定流形的方法。
• 提供一种系统化工具，用于在缺乏强主导性的同宿类中构造同宿切触与异宿环。
• 将扰动技术推广至保持线性柯西积路径下整个强流形旗的完整结构。
• 使该方法适用于 $C^1$-典型动力系统，包括主导分裂与小角度之间的二分性。

提出的方法

• 该方法利用沿周期轨道的线性柯西积的同伦，确保固定维数的强稳定/不稳定方向在整个路径中持续存在。
• 构造一个与周期轨道上指定导数路径匹配的 $C^1$-微分同胚扰动，同时保持不变流形的半局部结构。
• 该构造依赖于识别可接受的不变流形旗，并确保扰动在基本域的环形区域内保持这些流形。
• 关键技术条件是：在某个时刻 $t_0$，$i$-强稳定特征值的模长相等，从而可保证所有 $j \leq i$ 的 $j$-强稳定流形被保持。
• 扰动被局部化在周期轨道的邻域内，且在该区域外与原微分同胚一致。
• 该方法可扩展至保测度与辛情形，但需对余维一流形进行技术性调整。

实验结果

研究问题

• RQ1 沿周期轨道的 $C^1$-扰动能否保持强稳定与不稳定流形的结构？
• RQ2 在何种线性柯西积路径条件下，可使扰动过程中保持不变流形？
• RQ3 如何系统性地在缺乏主导分裂的同宿类中构造同宿切触或异宿环？
• RQ4 弗兰克斯引理能否推广至通过导数的同伦路径保持整个强流形旗？
• RQ5 该保持性质对 $C^1$-典型动力系统有何影响，特别是与主导性与小角度之间的二分性关系如何？

主要发现

• 只要在某时刻 $t_0$，$i$ 个最强的强稳定特征值模长相等，则在 $i$-强稳定流形的环形区域内，所有 $j \leq i$ 的 $j$-强稳定流形均可被保持。
• 扰动的大小可被控制得任意小，且与矩阵路径 $({\mathcal{A}}_t)$ 的大小成正比。
• 扰动保持轨道不变，且在周期轨道的小邻域外与原微分同胚一致。
• 该方法允许在不存在均匀主导分裂的同宿类中构造同宿切触。
• 该结果意味着在同宿类中，主导分裂与小稳定/不稳定夹角之间存在典型二分性。
• 该技术可扩展至保测度与辛情形，但余维一流形在半局部保持方面带来技术障碍。