[论文解读] An $O(\log OPT)$-approximation for covering and packing minor models of ${ heta}_r$

Dimitris Chatzidimitriou, Jean‐Florent Raymond+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本论文为涉及图 θr（两个顶点通过 r 条平行边连接）的最小化模型的顶点和边打包与覆盖问题，提出了一个 O(log OPT)-近似算法。通过基于凸出分解和树分治宽度的算法技术，作者证明了包含 θr 作为极小图的图类具有顶点和边 Erdős–Pósa 性质，且其间隙为 O(k log k)，并首次为一般 r 的边版本问题提供了近似算法。

ABSTRACT

Given two graphs $G$ and $H$, we define $ extsf{v-cover}_{H}(G)$ (resp. $ extsf{e-cover}_{H}(G)$) as the minimum number of vertices (resp. edges) whose removal from $G$ produces a graph without any minor isomorphic to ${H}$. Also $ extsf{v-pack}_{H}(G)$ (resp. $ extsf{v-pack}_{H}(G)$) is the maximum number of vertex- (resp. edge-) disjoint subgraphs of $G$ that contain a minor isomaorphic to $H$. We denote by $ heta_r$ the graph with two vertices and $r$ parallel edges between them. When $H= heta_r$, the parameters $ extsf{v-cover}_{H}$, $ extsf{e-cover}_{H}$, $ extsf{v-pack}_{H}$, and $ extsf{v-pack}_{H}$ are NP-hard to compute (for sufficiently big values of $r$). Drawing upon combinatorial results in [Minors in graphs of large $ heta_r$-girth, Chatzidimitriou et al., arXiv:1510.03041], we give an algorithmic proof that if $ extsf{v-pack}_{ heta_r}(G)\leq k$, then $ extsf{v-cover}_{ heta_r}(G) = O(k\log k)$, and similarly for $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$ and $ extsf{e-cover}_{ heta_r}$. In other words, the class of graphs containing ${ heta_r}$ as a minor has the vertex/edge Erd\H{o}s-P\'osa property, for every positive integer $r$. Using the algorithmic machinery of our proofs, we introduce a unified approach for the design of an $O(\log { m OPT})$-approximation algorithm for $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$, $ extsf{v-cover}_{ heta_r}$, $ extsf{v-pack}_{ heta_r}$, and $ extsf{e-cover}_{ heta_r}$ that runs in $O(n\cdot \log(n)\cdot m)$ steps. Also, we derive several new Erd\H{o}s-P\'osa-type results from the techniques that we introduce.

研究动机与目标

• 为 θr 的极小图模型的顶点和边打包与覆盖问题设计高效的近似算法。
• 为 θr 的极小图模型建立顶点和边 Erdős–Pósa 性质，且间隙为最优的 O(k log k)。
• 将基于树分治宽度和凸出分解的算法技术推广至具有有界树分治宽度的图类。
• 将 Erdős–Pósa 性质的结果推广至 θr,r′ 的极小图模型，并为边变体提供新的近似算法。
• 探索该方法在其他平面图及其极小图中的更广泛应用。

提出的方法

• 使用凸出分解将问题约化为有界树分治宽度的图。
• 应用一个结构结果：树分治宽度较大的图包含 k-墙、k-扇形、k-路径或 k-星形的极小图模型。
• 利用推论 5 来界定具有小 e-coverΘr,r′(G) 的图的树分治宽度，将其与边不相交的 Θr,r′-细分的存在性联系起来。
• 利用定理 3 将边覆盖数与边打包数通过间隙函数 f2(h, tk) 联系起来。
• 设计了一个统一的 O(n · log n · m) 时间算法，用于近似 v-packθr、v-coverθr、e-packθr 和 e-coverθr。
• 证明了对所有 r, r′ ∈ ℕ 且 r′ ≤ r 的 θr,r′ 极小图模型，其边 Erdős–Pósa 性质成立，扩展了以往仅限于 θr 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意 r ≥ 1 的 θr 极小图模型的顶点和边打包与覆盖问题设计出 O(log OPT)-近似算法？
• RQ2 在 θr 极小图模型的情况下，顶点和边 Erdős–Pósa 性质的最紧密可能的间隙函数是什么？
• RQ3 对 θr,r′ 的极小图模型，边 Erdős–Pósa 性质是否成立？能否将其用于近似算法？
• RQ4 基于树分治宽度和凸出分解的算法框架能否推广至 θr 以外的其他平面图？
• RQ5 是否存在对任意固定平面图的极小图模型的顶点和边打包与覆盖问题的多对数近似算法？

主要发现

• 本论文证明了包含 θr 作为极小图的图类具有顶点和边 Erdős–Pósa 性质，且间隙为 O(k log k)，与已知的下界一致。
• 为 v-packθr、v-coverθr、e-packθr 和 e-coverθr 设计了 O(log OPT)-近似算法，时间复杂度为 O(n · log n · m)。
• 将边 Erdős–Pósa 性质扩展至所有 r, r′ ∈ ℕ 且 r′ ≤ r 的 θr,r′ 极小图模型，这是此前未知的结果。
• 对于有界树分治宽度的图，顶点和边 Erdős–Pósa 性质的间隙为线性，优于一般情况下的界。
• 展示了基于凸出分解和树分治宽度的算法工具可推广至 θr 以外的图类，暗示其在其他平面图类中的更广泛应用。