[论文解读] Packing a randomly edge-colored random graph with rainbow $k$-outs

Asaf Ferber, Gal Kronenberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文提出一种方法，将随机边染色的随机图分解为多个边不相交的彩虹子图，每个子图均类似于随机 $k$-out 图。在最小度和边概率条件下，证明了以高概率，此类图包含 $ (1-o(1))\delta(G)p/(2k) $ 个边不相交的彩虹子图，每个子图均保持 $k$-out 模型的单调性质。该结果实现了彩虹哈密顿圈和完美匹配的渐近最优打包。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph on $n$ vertices and let $k$ be a fixed positive integer. We denote by $\mathcal G_{ ext{$k$-out}}(G)$ the probability space consisting of subgraphs of $G$ where each vertex $v\in V(G)$ randomly picks $k$ neighbors from $G$, independently from all other vertices. We show that if $δ(G)=ω(\log n)$ and $k\geq 2$, then the following holds for every $p=ω(\log n/δ(G))$. Let $H$ be a random graph obtained by keeping each $e\in E(G)$ with probability $p$ independently at random and then coloring its edges independently and uniformly at random with elements from the set $[kn]$. Then, w.h.p. $H$ contains $t:=(1-o(1))δ(G)p/(2k)$ edge-disjoint graphs $H_1,...,H_t$ such that each of the $H_i$ is \emph{rainbow} (that is, all the edges are colored with distinct colors), and such that for every monotone increasing property of graphs $\mathcal P$ and for every $1\leq i\leq t$ we have $\Pr[\mathcal G_{ ext{$k$-out}}(G)\models \mathcal P]\leq \Pr[H_i\models \mathcal P]+n^{-ω(1)}$. Note that since (in this case) a typical member of $\mathcal G_{ ext{$k$-out}}(G)$ has average degree roughly $2k$, this result is asymptotically best possible. We present several applications of this; for example, we use this result to prove that for $p=ω(\log n/n)$ and $c=23n$, a graph $H\sim \mathcal G_{c}(K_n,p)$ w.h.p. contains $(1-o(1))np/46$ edge-disjoint rainbow Hamilton cycles. More generally, using a recent result of Frieze and Johansson, the same method allows us to prove that if $G$ has minimum degree $δ(G)\geq (1+\varepsilon)n/2$, then there exist functions $c=O(n)$ and $t=Θ(np)$ (depending on $\varepsilon$) such that the random subgraph $H\sim \mathcal G_{c}(G,p)$ w.h.p. contains $t$ edge-disjoint rainbow Hamilton cycles.

研究动机与目标

• 开发一种在随机边染色的随机图中打包多个边不相交彩虹子图的一般方法。
• 建立随机边染色的随机图中包含大量边不相交的给定图（特别是哈密顿圈和完美匹配）的彩虹拷贝的条件。
• 证明此类彩虹子图的数量在边密度和颜色数量方面渐近最优。
• 将已知的单个彩虹子图结果推广到多个此类子图的打包问题。

提出的方法

• 作者定义了一个随机图模型 $ \mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) $，其中 $ G $ 中每个顶点独立地以均匀随机方式选择 $ k $ 个邻居，从而形成一个随机子图。
• 他们证明，对于最小度 $ \delta(G) = \omega(\log n) $ 且 $ k \geq 2 $ 的图 $ G $，若随机边染色图 $ H \sim \mathcal{G}_{c}(G,p) $ 满足 $ p = \omega(\log n / \delta(G)) $ 且 $ c = kn $，则可分解为 $ t = (1-o(1))\delta(G)p/(2k) $ 个边不相交的彩虹子图。
• 每个生成的子图 $ H_i $ 满足 $ \Pr[H_i \models \mathcal{P}] \geq \Pr[\mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) \models \mathcal{P}] - n^{-\omega(1)} $，其中 $ \mathcal{P} $ 为任意单调递增性质，从而确保性质保持。
• 该方法依赖于一种着色与排序方案，确保每个顶点发出的 $ k $ 条边获得不同颜色，从而实现彩虹结构。
• 通过一种概率构造方法实现分解，该方法迭代地分配颜色并排序边，以维持颜色多样性与边不相交性。
• 应用中利用已知的 $ k $-out 图结果（例如哈密顿圈或完美匹配的存在性）推断子图 $ H_i $ 中也具有相同性质，借助并集界证明所有组件中均以高概率成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机边染色的随机图中，最多可打包多少条边不相交的彩虹哈密顿圈？
• RQ2 在边概率 $ p $ 和颜色数 $ c $ 满足何种条件下，随机边染色图 $ H \sim \mathcal{G}_c(G,p) $ 包含大量边不相交的同构于 $ \mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) $ 的彩虹子图？
• RQ3 能否在随机边染色的随机图中利用 $ k $-out 模型保持单调图性质？
• RQ4 此类彩虹子图的数量在边密度和颜色数量方面是否渐近最优？

主要发现

• 对于满足 $ \delta(G) = \omega(\log n) $、$ k \geq 2 $ 且 $ p = \omega(\log n / \delta(G)) $ 的图 $ G $，随机图 $ H \sim \mathcal{G}_{kn}(G,p) $ 以高概率包含 $ (1-o(1))\delta(G)p/(2k) $ 个边不相交的彩虹子图，每个子图均保持 $ \mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) $ 的单调性质。
• 当 $ G = K_n $、$ p = \omega(\log n / n) $ 且 $ c = 23n $ 时，$ H \sim \mathcal{G}_{23n}(K_n,p) $ 以高概率包含 $ (1-o(1))np/46 $ 条边不相交的彩虹哈密顿圈。
• 对于任意 $ \varepsilon > 0 $，若 $ \delta(G) \geq (1+\varepsilon)n/2 $，则当 $ H \sim \mathcal{G}_{c}(G,p) $ 满足 $ c = O(n) $ 且 $ p = \omega(\log n / n) $ 时，以高概率包含 $ \Theta(np) $ 条边不相交的彩虹哈密顿圈。
• 该方法实现了渐近最优打包，因为彩虹子图的数量与典型 $ \mathcal{G}_{k\text{-out}}(G) $ 图中平均度 $ \approx 2k $ 所隐含的理论上限一致。
• 该结果可推广至完美匹配：当 $ G = K_{n,n} $、$ c = 3n $ 且 $ p = \omega(\log n / n) $ 时，$ H \sim \mathcal{G}_{3n}(K_{n,n},p) $ 以高概率包含 $ (1-o(1))np/6 $ 条边不相交的彩虹完美匹配。