[论文解读] An old efficient approach to anomalous Brownian motion

V. Lisý, Jana Tóthová|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2010

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文重新探討了Vladimirsky於1942年提出的求解帶記憶項的線性朗之萬方程的方法，證明其在推導異常布朗運動（BM）行為方面的有效性。透過利用吉布斯統計將隨機方程轉化為確定性方程，該方法能有效處理任意記憶核——特別是指數衰減形式——並對均方位移及磁場中的流體動力學布朗運動得出精確解。

ABSTRACT

A number of random processes in various fields of science is described by phenomenological equations containing a stochastic force, the best known example being the Langevin equation (LE) for the Brownian motion (BM) of particles. Long ago Vladimirsky (1942) proposed a simple method for solving such equations. The method, based on the classical Gibbs statistics, consists in converting the stochastic LE into a deterministic one, and is applicable to linear equations with any kind of memory. When the memory effects are taken into account in the description of the BM, the mean square displacement of the particle at long times can exhibit an "anomalous" (different from that in the Einstein theory) time dependence. In the present paper we show how some general properties of such anomalous BM can be easily derived using the Vladimirsky approach. The method can be effectively used in solving many of the problems currently considered in the literature. We apply it to the description of the BM when the memory kernel in the Volterra-type integro-differential LE exponentially decreases with the time. The problem of the hydrodynamic BM of a charged particle in an external magnetic field is also solved.

研究动机与目标

• 證明Vladimirsky於1942年的方法可有效應用於現代異常布朗運動問題。
• 利用經典統計力學方法推導具有任意記憶核的異常BM的一般性質。
• 使用同一方法求解帶外磁場的帶電粒子的流體動力學BM問題。
• 證明該方法能為非馬爾可夫動力學下的均方位移提供精確解析解。
• 確立該方法作為求解統計力學中複雜隨機積分微分方程的強大而被忽視的工具。

提出的方法

• 利用經典吉布斯統計，將帶記憶項的隨機朗之萬方程轉化為確定性方程。
• 將該方法應用於具有一般記憶核的線性伏脫拉型積分微分方程。
• 假設朗之萬方程中的噪聲為高斯白噪聲，以實現解析處理。
• 將該方法應用於記憶核隨時間指數衰減的情形。
• 透過將洛侖茲力納入確定性形式，求解帶電粒子在磁場中的流體動力學BM問題。
• 通過在傅里葉空間求解所得的確定性方程，解析推導均方位移。

实验结果

研究问题

• RQ1 Vladimirsky於1942年的方法能否有效應用於推導具有記憶特性的系統中的異常擴散行為？
• RQ2 使用該方法時，非馬爾可夫布朗運動中均方位移的一般解析性質為何？
• RQ3 該方法如何處理外磁場中帶電粒子的流體動力學BM問題？
• RQ4 當記憶核呈指數衰減時，均方位移的精確形式為何？
• RQ5 此經典方法是否能在此類問題上超越現代數值或微擾技術？

主要发现

• 該方法成功地將帶記憶項的隨機朗之萬方程轉化為確定性方程，從而實現精確的解析解。
• 對於指數記憶核，長時間下均方位移表現出亞擴散行為，與已知結果一致。
• 該方法在馬爾可夫與非馬爾可夫 regimes 下均能得出時間依賴的均方位移的精確表達式。
• 帶電粒子在磁場中的流體動力學BM問題已得到解析求解，顯示洛侖茲力導致的擴散特性發生改變。
• 該方法具有通用性，適用於任何形式的記憶核，無論其具體形式為何。
• 指數記憶核情況下的解確認了異常擴散自然地源自記憶結構，無需額外假設。