[论文解读] Brownian motion and anomalous diffusion revisited via a fractional Langevin equation

Francesco Mainardi, Antonio Mura+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 75被引用 12

一句话总结

本文通过引入包含流体动力记忆效应（特别是Basset历史力和附加质量）的分数阶朗之万方程，重新研究了布朗运动——利用分数阶导数建模。通过推广经典朗之万方程，推导出速度与随机力相关函数的解析表达式，表明尽管均方位移保持线性（表明正常扩散），但速度相关性以 $ t^{-3/2} $ 衰减，反映出非马尔可夫动力学及扩散行为的延迟出现。

ABSTRACT

In this paper we revisit the Brownian motion on the basis of {the fractional Langevin equation which turns out to be a particular case of the generalized Langevin equation introduced by Kubo in 1966. The importance of our approach is to model the Brownian motion more realistically than the usual one based on the classical Langevin equation, in that it takes into account also the retarding effects due to hydrodynamic back-flow, i.e. the added mass and the Basset memory drag. We provide the analytical expressions of the correlation functions (both for the random force and the particle velocity) and of the mean squared particle displacement. The random force has been shown to be represented by a superposition of the usual white noise with a "fractional" noise. The velocity correlation function is no longer expressed by a simple exponential but exhibits a slower decay, proportional to t^{-3/2} for long times, which indeed is more realistic. Finally, the mean squared displacement is shown to maintain, for sufficiently long times, the linear behaviour which is typical of normal diffusion, with the same diffusion coefficient of the classical case. However, the Basset history force induces a retarding effect in the establishing of the linear behaviour, which in some cases could appear as a manifestation of anomalous diffusion to be correctly interpreted in experimental measurements.

研究动机与目标

• 通过引入Basset历史力和附加质量等流体动力记忆效应，更真实地建模布朗运动。
• 将经典朗之万方程推广为考虑频率相关阻尼的分数阶广义朗之万方程。
• 利用分数阶微积分推导速度与随机力相关函数的解析表达式。
• 研究均方位移，并识别在延迟效应影响下异常扩散可能被误判的条件。
• 通过分数阶动力学理论，将模拟中观测到的 $ t^{-3/2} $ 速度自相关性与理论模型相协调。

提出的方法

• 通过基于流体动力理论的内存核，将Basset力和附加质量效应纳入分数阶广义朗之万方程。
• 应用涨落-耗散定理，确保随机力与内存核之间的一致性。
• 采用拉普拉斯变换与分数阶微积分技术，特别是Mittag-Leffler函数 $ E_{1/2} $，对方程进行解析求解。
• 将速度相关函数表示为Mittag-Leffler函数的叠加，得出其在长时间范围内的 $ t^{-3/2} $ 衰减行为。
• 评估均方位移，表明其渐近趋于与时间成线性关系，与正常扩散一致。
• 通过部分分式分解与拉普拉斯反演，获得相关函数在时域中的精确解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Basset历史力与附加质量的引入如何影响布朗运动中的速度相关函数？
• RQ2 分数阶朗之万方程能否再现分子动力学模拟中观测到的 $ t^{-3/2} $ 速度自相关性衰减？
• RQ3 记忆效应的存在是否会导致瞬态异常扩散行为，即使在长时间均方位移为线性时？
• RQ4 在分数阶朗之万框架下，随机力相关函数的解析形式是什么？
• RQ5 分数阶方法如何在流体动力系统中，将涨落-耗散定理与非马尔可夫动力学相协调？

主要发现

• 在长时间范围内，速度相关函数以 $ t^{-3/2} $ 衰减，与模拟结果一致，表明存在非马尔可夫动力学。
• 随机力被表示为白噪声与分数阶噪声分量的叠加，反映了内存核的结构特征。
• 在足够长的时间范围内，均方位移保持与时间的线性依赖关系，确认了正常扩散，且扩散系数与经典情况相同。
• Basset力引起延迟效应，延缓了线性均方位移的建立，这在短时间测量中可能被误认为异常扩散。
• 速度相关函数的解以Mittag-Leffler函数 $ E_{1/2} $ 表示，并通过拉普拉斯反演导出闭式表达式。
• 解析处理结果证实，分数阶朗之万方程为经典模型提供了一致且现实的推广，通过分数阶导数引入了流体动力记忆效应。