[论文解读] An open quantum Kirwan map

Chris Woodward, Guangbo Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 49被引用 3

一句话总结

本文构建了一个开放的量子Kirwan映射——即从一个在矩量映射零水平集中的拉格朗日子流形的等变Fukaya代数到其商子流形的Fukaya代数的态射——证明该映射保持了盘势能，并在Maurer–Cartan解空间上诱导出一个映射。该构造验证了关于toric镜像对称中坐标变换的猜想，并为半Fano toric流形的开放镜像定理提供了新的证明。

ABSTRACT

We construct a morphism from the equivariant Fukaya algebra of a Lagrangian brane in the zero level set of a moment map of a Hamiltonian action to the Fukaya algebra of the quotient brane. This morphism induces a map between Maurer-Cartan solution spaces, and intertwines the disk potentials. As an application, we show under some technical hypotheses that weak unobstructedness of an invariant Lagrangian brane implies weak unobstructedness of its quotient. For semi-Fano toric manifolds we give a different proof of the open mirror theorem of Chan-Lau-Leung-Tseng by showing that the potential of a Lagrangian toric orbit in a toric manifold is related to the Givental-Hori-Vafa potential by a change of variable. We also reprove the results of Fukaya-Oh-Ohta-Ono on weak unobstructedness of these toric orbits. In the case of polygon spaces we show the existence of weakly unobstructed and Floer nontrivial products of spheres.

研究动机与目标

• 建立一个在矩量映射零水平集中的拉格朗日子流形的等变Fukaya代数与在哈密顿群作用下其商子流形的Fukaya代数之间的态射。
• 证明该态射保持盘势能，并在两个代数的Maurer–Cartan方程解空间之间诱导出一个映射。
• 在适当的技条件之下，证明一个不变拉格朗日子流形的弱无阻碍性蕴含其商子流形的弱无阻碍性。
• 使用开放量子Kirwan映射重新证明半Fano toric流形的开放镜像定理，并通过变量替换将Givental–Hori–Vafa势能与拉格朗日Floer势能联系起来。
• 将该框架扩展至多边形空间，并证明球面的弱无阻碍、Floer非平凡积的存在性。

提出的方法

• 通过边界条件为拉格朗日子流形的树状vortex模空间构造一个态射——称为开放量子Kirwan映射。
• 使用扰动数据和一致扰动系统，以实现树状vortex模空间的正则性与定向性。
• 应用横截性与紧致性论证，控制一维模空间的结构并处理边界分量。
• 利用加权树状盘与缩放极限，将原始空间上的等变Fukaya代数与辛商空间上的商代数联系起来。
• 实现仿射vortex的局部模型，并通过指标与维数计数分析其对势函数的贡献。
• 在toric流形上应用该构造，通过将其视为GIT商空间并使用变量替换的Givental–Hori–Vafa势能计算势函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将矩量映射零水平集中的拉格朗日子流形的等变Fukaya代数与在哈密顿群作用下其商子流形的Fukaya代数联系起来？
• RQ2 在等变设定下与商设定下的盘势能之间存在何种精确关系？
• RQ3 在群作用下，不变拉格朗日子流形的弱无阻碍性是否蕴含其商子流形的弱无阻碍性？
• RQ4 能否通过量子Kirwan映射的几何构造重新证明半Fano toric流形的开放镜像定理？
• RQ5 仿射vortex在Givental–Hori–Vafa势能与拉格朗日Floer势能之间的坐标变换中起何种作用？

主要发现

• 开放量子Kirwan映射被构造为一个良定义的$A_∞$-代数态射，保持了原始与商拉格朗日子流形的盘势能。
• 该映射在两个代数的Maurer–Cartan方程解空间之间诱导出一个良定义的、单射的映射。
• 在技术假设下，不变拉格朗日子流形的弱无阻碍性蕴含其商子流形的弱无阻碍性，扩展了Fukaya–Oh–Ohta–Ono的结果。
• 对于半Fano toric流形，通过证明拉格朗日Floer势能与Givental–Hori–Vafa势能之间通过变量替换相关联，重新证明了Chan–Lau–Leung–Tseng的开放镜像定理。
• 该构造验证了如下猜想：镜像对称中的坐标变换源于复平面与上半平面中仿射vortex的计数。
• 在多边形空间的情形下，证明了存在弱无阻碍的拉格朗日子流形，其Floer上同调非平凡，展示了该映射在toric几何之外的适用性。