[论文解读] An Optimal Separation of Randomized and Quantum Query Complexity

Alexander A. Sherstov, Andrey A. Storozhenko+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文通过证明决策树的傅里叶系数的紧致界限，建立了随机化与量子查询复杂度之间的最优分离，从而构造出一个部分布尔函数，其有界误差量子查询复杂度为 $k$，随机化查询复杂度为 $\tilde{\Omega}(n^{1-1/(2k)})$。该结果解决了长期存在的开放问题，实现了理论上可能的最佳分离，与 Aaronson 和 Ambainis 以及 Bravyi 等人建立的理论极限完全匹配。

ABSTRACT

We prove that for every decision tree, the absolute values of the Fourier coefficients of a given order $\ell\geq1$ sum to at most $c^{\ell}\sqrt{\binom{d}{\ell}(1+\log n)^{\ell-1}},$ where $n$ is the number of variables, $d$ is the tree depth, and $c>0$ is an absolute constant. This bound is essentially tight and settles a conjecture due to Tal (arxiv 2019; FOCS 2020). The bounds prior to our work degraded rapidly with $\ell,$ becoming trivial already at $\ell=\sqrt{d}.$ As an application, we obtain, for every integer $k\geq1,$ a partial Boolean function on $n$ bits that has bounded-error quantum query complexity at most $k$ and randomized query complexity $ ildeΩ(n^{1-\frac{1}{2k}}).$ This separation of bounded-error quantum versus randomized query complexity is best possible, by the results of Aaronson and Ambainis (STOC 2015) and Bravyi, Gosset, Grier, and Schaeffer (2021). Prior to our work, the best known separation was polynomially weaker: $O(1)$ versus $Ω(n^{2/3-ε})$ for any $ε>0$ (Tal, FOCS 2020). As another application, we obtain an essentially optimal separation of $O(\log n)$ versus $Ω(n^{1-ε})$ for bounded-error quantum versus randomized communication complexity, for any $ε>0.$ The best previous separation was polynomially weaker: $O(\log n)$ versus $Ω(n^{2/3-ε})$ (implicit in Tal, FOCS 2020).

研究动机与目标

• 填补对布尔函数的有界误差量子与随机化查询复杂度之间最大可能分离的理解空白。
• 解决 Tal（2019，FOCS 2020）关于高阶系数下决策树傅里叶权重的猜想。
• 构造一个部分布尔函数，实现量子与随机化查询复杂度之间的最优权衡。
• 将结果推广至通信复杂度，实现量子与随机化通信复杂度之间的最优分离。

提出的方法

• 证明决策树的 $\ell$-阶傅里叶系数的紧致上界：$\sum |\hat{f}(S)| \leq c^\ell \sqrt{\binom{d}{\ell} (1+\log n)^{\ell-1}}$，其中 $\ell \geq 1$，$d$ 为树的深度，$c$ 为绝对常数。
• 利用该傅里叶界分析 forrelation 问题及其推广，特别是 $k$-重 forrelation 函数 $f_{n,k,U}$。
• 应用误差缩减技术与集中性论证，将均匀分布与结构化分布下的接受概率关联到决策树的傅里叶偏差。
• 通过比较不同输入分布下决策树的期望输出，利用傅里叶系数界推导出随机化查询复杂度的下界。
• 利用所得的复杂度差距，构造一个量子复杂度为 $k$、随机化复杂度为 $\tilde{\Omega}(n^{1-1/(2k)})$ 的部分布尔函数。
• 通过将同一函数应用于双参与者场景，将结果推广至通信复杂度，实现 $O(\log n)$ 量子复杂度与 $\Omega(n^{1-\varepsilon})$ 随机化复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n$ 位布尔函数，有界误差量子与随机化查询复杂度之间的最大可能分离是多少？
• RQ2 能否以一种能捕捉高阶相互作用对查询复杂度影响的方式，对决策树的傅里叶系数进行有界？
• RQ3 是否 $k$-重 forrelation 问题是在查询模型中实现最大已知量子加速的最优候选？
• RQ4 能否将量子与随机化查询复杂度之间的分离推广至通信复杂度，并实现最优参数？

主要发现

• 论文建立了决策树 $\ell$-阶傅里叶系数的紧致界限：$\sum |\hat{f}(S)| \leq c^\ell \sqrt{\binom{d}{\ell} (1+\log n)^{\ell-1}}$，解决了 Tal（2019，FOCS 2020）的猜想。
• 论文构造了一个部分布尔函数，其有界误差量子查询复杂度为 $k$，随机化查询复杂度为 $\tilde{\Omega}(n^{1-1/(2k)})$，实现了最优分离（对数因子内）。
• 该分离是最优的，即不可能存在更大的差距，此结论与 Aaronson 和 Ambainis（STOC 2015）以及 Bravyi 等人（2021）的先前结果一致。
• 对于任意 $\varepsilon > 0$，在有界误差量子与随机化通信复杂度之间实现了本质上最优的分离：$O(\log n)$ 与 $\Omega(n^{1-\varepsilon})$。
• 该结果优于此前的最佳分离，后者为多项式较弱：$O(1)$ 与 $\Omega(n^{2/3-\varepsilon})$（对任意 $\varepsilon > 0$），如 Tal（FOCS 2020）所展示。
• 分析依赖于傅里叶分析在决策树上的新颖应用，精确控制了输入分布的影响以及随机化算法中误差传播的机制。