[论文解读] An outline of shifted Poisson structures and deformation quantisation in derived differential geometry

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 63被引用 17

一句话总结

本文在导出微分几何中建立了移位辛结构与非退化移位泊松结构之间的等价性，将源自导出代数几何的结果推广至 dg $Δ$-流形、NQ-流形、李群胚及导出高阶群胚。通过弯曲 $A_\infty$ 和 $BV_\infty$ 代数，本文形式化了 $n$-移位泊松结构的形变量子化，涵盖 $n=0$、$n=-1$ 和 $n=-2$ 的情形，并证明这些构造在同伦等价与超覆盖下保持不变，进一步推广至光滑堆栈与可微超堆栈。

ABSTRACT

We explain how to translate several recent results in derived algebraic geometry to derived differential geometry. These concern shifted Poisson structures on NQ-manifolds, Lie groupoids, smooth stacks and derived generalisations, and include existence and classification of various deformation quantisations.

研究动机与目标

• 将近期关于移位泊松结构与形变量子化的结果，从导出代数几何翻译至导出微分几何。
• 在 NQ-流形、dg 流形与导出李群胚上，建立移位辛结构与非退化移位泊松结构之间的等价性。
• 在 dg NQ-流形与高阶群胚的语境下，为 $n$-移位泊松结构（特别是 $n=0$、$n=-1$ 与 $n=-2$）形式化形变量子化。
• 通过单纯化解析与超层化，将这些结构推广至光滑堆栈与可微超堆栈，确保其在莫里塔等价下的不变性。
• 构建一个推广弯曲 $A_\infty$ 与 $BV_\infty$ 代数的量子化框架，适用于微分几何设定。

提出的方法

• 使用 dg $Δ$-环与 dg $Δ$-流形作为导出微分几何的基础设定。
• 在超 NQ-流形与 dg NQ-流形上，将移位泊松结构定义为光滑函数 dg 代数上的 $L_\infty$-代数结构，其运算作用为多重导子。
• 应用同调代数，关联 $Q$-与 $\delta$-微分，通过 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2$-分次方案区分余链与链分次。
• 通过单纯 dg NQ-流形的正规化构造，获得超 dg NQ-流形，从而实现在李群胚与高阶群胚上的全局构造。
• 利用超覆盖与超层化，确保泊松结构与量子化仅依赖于堆栈的莫里塔等价类。
• 应用 [Pri6] 与 [CPT+] 的结果，通过单纯化解析与导出群胚结构，将代数几何的证明方法适配至微分设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在导出微分几何中重新表述导出代数几何中的移位辛结构？
• RQ2 在 dg 与 NQ-流形设定下，移位辛结构与非退化移位泊松结构之间的确切对应关系为何？
• RQ3 在导出微分几何框架下，如何将形变量子化推广至 $n=0$、$n=-1$ 与 $n=-2$ 的 $n$-移位泊松结构？
• RQ4 导出李群胚上的泊松结构及其量子化在多大程度上依赖于其底层堆栈的莫里塔等价类？
• RQ5 在何种条件下，导出李群胚的正规化能产生一个适合用于量子化的良好行为的 dg NQ-流形？

主要发现

• 本文在超 NQ-流形与 dg NQ-流形上建立了 $n$-移位辛结构与非退化 $n$-移位泊松结构之间的等价性，推广了经典辛-泊松对偶性。
• 当 $n=0$ 时，移位泊松结构的形变量子化对应于光滑函数 dg 代数上的弯曲 $A_\infty$-代数结构。
• 当 $n=-1$ 时，量子化对应于 $BV_\infty$-代数，其表述涉及旋量结构与平坦右联络。
• 当 $n=-2$ 时，量子化由量子主方程的解控制，将 BV 形式推广至导出设定。
• 在导出李 $k$-群胚上构造移位泊松结构及其量子化，在同伦等价与超覆盖下保持不变，仅依赖于群胚的超层化。
• dg 超李 $k$-群胚的正规化产生一个超 dg NQ-流形，从而可将所有局部结果推广至全局、堆栈化的对象。