[论文解读] Homological Algebra for Superalgebras of Differentiable Functions

David Carchedi, Dmitry Roytenberg|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 13

一句话总结

本文引入了在超费马理论上的微分分次（dg）代数，通过 $\mathbf{C}^\infty$-环推广经典 dg-代数以包含光滑函数。当具备积分能力时，建立了 dg-$\mathbf{C}^\infty$-代数的 Quillen 模型结构与单纯上丰富结构，将微分分次流形完全嵌入这些代数的对偶范畴中，从而为推导微分几何提供一个可计算的模型。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers laying the foundations for a differential graded approach to derived differential geometry (and other geometries in characteristic zero). In this paper, we extend the classical notion of a dg-algebra to define, in particular, the notion of a differential graded algebra in the world of C-infinity rings. The opposite of the category of differential graded C-infinity algebras contains the category of differential graded manifolds as a full subcategory. More generally, this notion of differential graded algebra makes sense for algebras over any (super) Fermat theory, and hence one also arrives at the definition of a differential graded algebra appropriate for the study of derived real and complex analytic manifolds and other variants. We go on to show that, for any super Fermat theory S which admits integration, a concept we define and show is satisfied by all important examples, the category of differential graded S-algebras supports a Quillen model structure naturally extending the classical one on differential graded algebras, both in the bounded and unbounded case (as well as differential algebras with no grading). Finally, we show that, under the same assumptions, any of these categories of differential graded S-algebras have a simplicial enrichment, compatible in a suitable sense with the model structure.

研究动机与目标

• 将同调代数推广至超费马理论，特别是 $\mathbf{C}^\infty$-环，通过在该背景下定义微分分次代数。
• 为任一具备积分能力的超费马理论 $\mathbf{S}$ 的微分分次 $\mathbf{S}$-代数范畴建立 Quillen 模型结构。
• 为微分分次 $\mathbf{S}$-代数范畴赋予与模型结构相容的单纯上丰富结构。
• 将微分分次流形完全嵌入 dg-$\mathbf{C}^\infty$-代数的对偶范畴中，从而为推导微分几何提供几何直观的框架。
• 提供一种基于 dg 的推导光滑流形的形式化方法，该方法几何直观且可直接计算，与一般情形下的单纯方法形成对比。

提出的方法

• 通过将 dg-代数推广至 $\mathbf{S}$-代数来定义超费马理论 $\mathbf{S}$ 上的微分分次代数，其中 $\mathbf{S}$ 支持光滑函数的求值。
• 利用奇直线 $\mathbb{E}^\times \cong \mathbb{G}_m \ltimes \mathbb{G}_{\mathrm{ad}}^{\underline{1}}$ 的自同构群，通过代数上的群作用刻画 dg-结构。
• 引入“具备积分能力的超费马理论”概念，该条件在所有重要例子（包括 $\mathbf{C}^\infty$-环）中均成立。
• 通过定义与底层理论相容的纤维化、胞射与弱等价，构建微分分次 $\mathbf{S}$-代数范畴上的 Quillen 模型结构。
• 利用内部 Hom 与张量积，为 dg-$\mathbf{S}$-代数范畴赋予与模型结构相容的单纯上丰富结构。
• 证明 dg-$\mathbf{C}^\infty$-代数的对偶范畴通过光滑奇直线的自同态幺半群，包含微分分次流形范畴作为全子范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典微分分次代数的概念推广至超费马理论（如 $\mathbf{C}^\infty$-环）上的代数？
• RQ2 在何种条件下，微分分次 $\mathbf{S}$-代数范畴会具备 Quillen 模型结构？
• RQ3 微分分次 $\mathbf{S}$-代数范畴能否被赋予与模型结构相容的单纯上丰富结构？
• RQ4 微分分次 $\mathbf{C}^\infty$-代数范畴与微分分次流形范畴之间有何关系？
• RQ5 是否存在一种基于 dg 的推导微分几何形式化方法，既具有几何直观性又具备计算可处理性？

主要发现

• 微分分次 $\mathbf{C}^\infty$-代数的对偶范畴包含微分分次流形范畴作为全子范畴。
• 对于任一具备积分能力的超费马理论 $\mathbf{S}$，微分分次 $\mathbf{S}$-代数范畴在有界与无界情形下均支持 Quillen 模型结构。
• 微分分次 $\mathbf{S}$-代数范畴具备与 Quillen 模型结构相容的单纯上丰富结构。
• 微分分次代数的概念被推广至任意超费马理论，包括 $\mathbf{C}^\infty$-环、实解析与复解析情形。
• 模型结构与单纯上丰富结构通过内部 Hom 与张量积构造，纤维化与弱等价通过提升与同伦性质定义。
• 该构造为推导光滑流形提供了一种可计算的、基于 dg 的模型，与单纯方法不同，适用于直接计算。