[论文解读] An unconditionnally stable pressure correction scheme for compressible barotropic Navier-Stokes equations

Thierry Gallouët, Laura Gastaldo+2 more|Oct 16, 2007

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种针对可压缩等熵Navier-Stokes方程的无条件稳定压力校正格式，采用分数步时间离散化方法，结合非协调混合有限元与有限体积法。该格式确保离散能量及基于最大值原理的估计量与连续问题的先验界一致，通过针对对流算子和压力功的新型离散稳定性证明，实现了无条件稳定性。

ABSTRACT

We present in this paper a pressure correction scheme for barotropic compressible Navier-Stokes equations, which enjoys an unconditional stability property, in the sense that the energy and maximum-principle-based a priori estimates of the continuous problem also hold for the discrete solution. The stability proof is based on two independent results for general finite volume discretizations, both interesting for their own sake: the $L^2$-stability of the discrete advection operator provided it is consistent, in some sense, with the mass balance and the estimate of the pressure work by means of the time derivative of the elastic potential. The proposed scheme is built in order to match these theoretical results, and combines a fractional-step time discretization of pressure-correction type to a space discretization associating low order non-conforming mixed finite elements and finite volumes. Numerical tests with an exact smooth solution show the convergence of the scheme.

研究动机与目标

• 开发一种针对可压缩等熵Navier-Stokes方程的稳定、非迭代压力校正格式，且其稳定性不依赖于时间步长大小。
• 确保离散解满足与连续问题相同的先验估计，包括密度正性、有界能量与粘性耗散。
• 实现对包含不可压缩与可压缩相共存流动的精确模拟，尤其适用于涉及气泡流的核安全应用。
• 通过离散化连续能量恒等式的类比，特别是针对弹性势能与对流算子，建立稳定性的理论基础。
• 提供首个无条件稳定性的可靠框架，为未来算法扩展铺平道路。

提出的方法

• 采用分数步时间离散化，将动量方程与连续性方程分解为预测与校正步骤。
• 空间离散化结合低阶非协调混合有限元法处理速度与压力，以及有限体积法处理质量平衡与通量重构。
• 证明了在满足质量平衡的前提下，离散对流算子具有L²稳定性，从而确保动量输运的稳定性。
• 通过离散弹性势能的时间导数对压力功进行有界化，实现在无时间步长限制下的能量稳定性。
• 对源项采用特殊的数值积分技术，以保持离散梯度结构并确保一致性。
• 该格式在不可压缩极限下退化为经典投影方法，同时保持稳定性和一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种针对可压缩等熵Navier-Stokes方程的压力校正格式，实现与时间步长无关的无条件稳定性？
• RQ2 在有限体积框架下，如何稳定离散对流算子，同时保持与质量平衡的一致性？
• RQ3 能否通过离散弹性势能的时间导数对压力所做的功进行有界化，以确保能量稳定性？
• RQ4 在完全离散化下，该格式是否能保持关键的先验估计——包括密度正性、有界动能与内能、以及粘性耗散？
• RQ5 该框架能否扩展至全隐格式或不含密度预测步骤的格式？

主要发现

• 该格式实现了无条件稳定性：所有连续问题的先验估计，包括密度正性、有界能量与粘性耗散，无论时间步长大小，均在离散解中得以保持。
• 针对光滑精确解的数值实验表明，速度与压力误差在时间方向呈一阶收敛，空间方向在L²范数下呈二阶收敛。
• 当时间步长较大时，速度与压力误差趋于一个与空间离散化一致的平台区域，表明此时时间误差起主导作用。
• 当时间步长低于平台区域时，收敛率在时间方向近似为一阶，证实了该格式的时间精度。
• 离散弹性势能恒等式与对流算子稳定性被证明为实现无条件稳定性的关键理论工具。
• 该格式在不可压缩极限下保持稳定性，退化为使用inf-sup稳定的混合有限元对的古典投影方法。