[论文解读] An unfitted $hp$-interface penalty finite element method for elliptic interface problems

Haijun Wu, Yuanming Xiao|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational MathematicsEngineering参考文献 29被引用 17

一句话总结

本文提出了一种用于二维和三维非拟合网格上椭圆界面问题的 $hp$-版本非拟合界面罚分方法（hp-IPFEM）。该方法采用对称与非对称变分格式，并结合界面通量稳定化与罚分项，实现了在分段 $H^1$ 范数下的最优 $h$-收敛率以及次优 $p$-收敛率（低半阶），并通过对偶论证导出了 $L^2$ 误差估计。

ABSTRACT

An $hp$ version of interface penalty finite element method ($hp$-IPFEM) is proposed for elliptic interface problems in two and three dimensions on unfitted meshes. Error estimates in broken $H^1$ norm, which are optimal with respect to $h$ and suboptimal with respect to $p$ by half an order of $p$, are derived. Both symmetric and non-symmetric IPFEM are considered. Error estimates in $L^2$ norm are proved by the duality argument.

研究动机与目标

• 开发一种高阶、稳定的有限元方法，用于在非拟合结构化网格上求解椭圆界面问题，其中界面穿过单元而无需采用贴体三角剖分。
• 在网格尺寸 $h$ 上实现最优收敛率，在多项式阶数 $p$ 上实现次优但精确的收敛率，目标为分段 $H^1$ 范数。
• 将罚分有限元方法扩展至 $hp$-版本框架，确保对称与非对称格式下均具有稳定性与收敛性。
• 通过使用对偶论证，严格推导出 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的误差估计，确保方法对界面位置的鲁棒性。

提出的方法

• 基于一种变分格式，提出对称与非对称的 $hp$-界面罚分有限元方法（hp-IPFEM），通过惩罚解与通量在界面处的跳跃来实现。
• 在双线性形式中引入加权平均通量技术，以增强方法在非拟合网格上的稳定性、精度与条件性。
• 引入对解跳跃与通量跳跃的罚分项，以弱形式强制满足界面条件，确保方法的稳定性和收敛性。
• 采用类似间断伽辽金的方法并辅以罚分稳定化，允许在被界面切割的单元上实现高阶多项式逼近（$p$-加密）。
• 利用曲界面区域上的迹不等式控制边界项，其推导基于锥型几何与界面参数化方法。
• 应用对偶论证推导 $L^2$ 误差估计，将收敛性分析从 $H^1$-范数扩展至 $L^2$-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种 $hp$-版本有限元方法，使其在非拟合网格上求解椭圆界面问题时，保持最优 $h$-收敛率与接近最优的 $p$-收敛率？
• RQ2 对称与非对称格式的选择如何影响 $hp$-IPFEM 的稳定性与收敛性？
• RQ3 为确保在分段 $H^1$ 范数下非拟合 $hp$-FEM 的稳定性与最优收敛性，罚分参数的最优缩放关系为何？
• RQ4 尽管采用非拟合网格与界面切割，该方法是否仍能实现与标准 FEM 相当的 $L^2$ 收敛率？
• RQ5 对界面的几何假设（如 $C^2$-光滑性）与网格形状规则性如何影响误差估计？

主要发现

• 该方法在分段 $H^1$ 范数下实现了最优 $h$-收敛率，且误差估计不依赖于界面相对于网格的位置。
• $p$-收敛率比最优值低半阶，即 $O(h^p + h^{p+1/2})$，这是此类情境下已知最优的非拟合 $hp$-方法结果。
• 通过使用对偶论证推导出 $L^2$ 范数下的误差估计，证实了在标准正则性假设下的收敛性。
• 对称与非对称格式均能产生稳定且收敛的格式，其中对称版本具有更优的条件性。
• 分析依赖于一种新颖的曲界面区域上的迹不等式，其证明基于锥型几何与参数化方法，确保在小单元下仍具鲁棒性。
• 当界面以任意位置切割单元时，该方法仍能保持统一的稳定性与收敛性，无需重剖分或复杂基函数修改。