[论文解读] An upper bound for the Waring rank of a form

Joachim Jelisiejew|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文引入了齐次多项式的开放 Waring 秩，并建立了其新的上界，优于以往结果。通过证明三元三次型的开放 Waring 秩至多为 5，作者得出了当 $n,d \geq 3$ 时的上界 $inom{n+d-2}{d-1} - \binom{n+d-6}{d-3}$，这是迄今为止关于经典 Waring 秩的最佳已知上界。

ABSTRACT

In this paper we introduce the open Waring rank of a form of degree d in n variables and prove the that this rank in bounded from above by \binom{n+d-2}{d-1} - \binom{n+d-6}{d-3} whenever n, d >= 3. This proves the same upper bound for the classical Waring rank of a form, improving the result of [BBS] and giving, as far as we know, the best upper bound known.

研究动机与目标

• 引入并形式化开放 Waring 秩的概念，作为经典 Waring 秩的改进，其限制线性形式以避开某些 Zariski 闭子空间。
• 改进关于 $n$ 个变量中 $d$ 次齐次多项式经典 Waring 秩的已知上界。
• 证明三元三次型（$n=d=3$）的开放 Waring 秩恰好为 5，从而收紧该情形的上界。
• 建立一个适用于更强秩变体的开放 Waring 秩递归不等式，其形式与早期工作中的类似。
• 证明在上界中违反一般性条件的多项式集合是闭集，从而可通过扰动论证将上界推广至所有多项式。

提出的方法

• 将开放 Waring 秩 $\mathrm{Ork}(F,V)$ 定义为：表达 $F$ 所需的不在适当 Zariski 闭子集 $V \subset S_1$ 中的线性形式的 $d$ 次幂的最小数量。
• 将 $\mathrm{Ork}(n,d)$ 定义为所有本质上依赖于 $n$ 个变量的多项式 $F$ 的 $\mathrm{Ork}(F,V)$ 的上确界。
• 利用微分算子与对偶性理论，证明当 $n,d \geq 3$ 时，有递归不等式 $\mathrm{Ork}(n,d) \leq \mathrm{Ork}(n-1,d) + \mathrm{Ork}(n,d-1)$。
• 利用 Bertini 定理及 $\mathbb{P}^2$ 中完备交的性质，证明若 $V((F^\perp)_2) = \emptyset$，则对三次型有 $\mathrm{Ork}(F,V) \leq 4$。
• 通过 Kleppe 的分类刻画异常多项式（即满足 $V((F^\perp)_2) \neq \emptyset$ 的多项式）：$x_0x_1^2 + x_1x_2^2$ 或 $x_0^3 + g$，其中 $g \in k[x_1,x_2]_3$。
• 应用扰动论证：对任意此类异常多项式 $F$，存在一个线性形式 $l$，使得 $F + l^3$ 属于 $\mathrm{Ork}(F,V) \leq 4$ 的一般集合，从而得到 $\mathrm{Ork}(F,V) \leq 5$ 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n$ 个变量中 $d$ 次齐次多项式，其经典 Waring 秩的最佳可能上界是什么？
• RQ2 开放 Waring 秩概念能否提供比以往递归方法更紧的上界？
• RQ3 三元三次型的开放 Waring 秩的确切值是多少？
• RQ4 在开放 Waring 秩框架下，那些在对偶理想中具有非空基点的异常多项式如何表现？
• RQ5 能否从拓扑上控制非一般多项式集合，以将上界从一般情形推广至所有情形？

主要发现

• 开放 Waring 秩 $\mathrm{Ork}(3,3)$ 恰好为 5，相比 [BBS] 的先前上界 6 有严格改进。
• 多项式 $x_0x_1^2 + x_1x_2^2$ 的经典 Waring 秩为 5，确认其在三元三次情形下的极值性。
• 开放 Waring 秩满足递归不等式 $\mathrm{Ork}(n,d) \leq \mathrm{Ork}(n-1,d) + \mathrm{Ork}(n,d-1)$，对 $n,d \geq 3$ 成立，基础情形为 $\mathrm{Ork}(2,d) = d$ 与 $\mathrm{Ork}(n,2) = n$。
• 满足 $V((F^\perp)_2) \neq \emptyset$ 的多项式集合在本质上依赖于 $n$ 个变量的多项式空间中是闭集，从而支持扰动论证。
• 对所有 $n,d \geq 3$，不等式 $\mathrm{Ork}(n,d) \leq \binom{n+d-2}{d-1} - \binom{n+d-6}{d-3}$ 成立，优于先前的上界 $\binom{n+d-2}{d-1}$。
• 据作者所知，这是目前关于形式经典 Waring 秩的最佳已知上界。