[论文解读] An upper bound on the asymptotic translation lengths on the curve graph and fibered faces

Hyungryul Baik, Hyunshik Shin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文建立了在第一贝蒂数至少为2的纤维化双曲3-流形上，伪阿诺索夫单值表示在曲线图上的渐近平移长度的上界。通过分析纤维化锥的一个真子锥中、其投影收敛至纤维面内部点的序列，作者证明渐近平移长度的上界为 $1/|\chi(\Sigma_n)|^{1+1/r}$，其中 $r$ 是 $\psi_n$-不变同调的维数。当 $b_1(M) = 2$ 时，该上界为 $1/|\chi(\Sigma_n)|^2$，这是精确的，且适用于旋轮体映射类群和同调稀释度为1的映射类。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of the asymptotic translation lengths on the curve complexes of pseudo-Anosov monodromies in a fibered cone of a fibered hyperbolic 3-manifold $M$ with $b_1(M) \geq 2$. For a sequence $(Σ_n, ψ_n)$ of fibers and monodromies in the fibered cone, we show that the asymptotic translation length on the curve complex is bounded above by $1/χ(Σ_n)^{1+1/r}$ as long as their projections to the fibered face converge to a point in the interior, where $r$ is the dimension of the $ψ_n$-invariant homology of $Σ_n$ (which is independent of $n$). As a corollary, if $b_1(M) = 2$, the asymptotic translation length on the curve complex of such a sequence of primitive elements behaves like $1/χ(Σ_n)^{2}$. Furthermore, together with a work of E. Hironaka, our theorem can be used to determine the asymptotic behavior of the minimal translation lengths of handlebody mapping class groups and the set of mapping classes with homological dilatation one.

研究动机与目标

• 确定在第一贝蒂数满足 $b_1(M) \geq 2$ 的纤维化双曲3-流形中，伪阿诺索夫单值表示在曲线图上渐近平移长度的渐近行为。
• 建立一个依赖于欧拉示性数和 $\psi_n$-不变同调维数 $r$ 的渐近平移长度的上界。
• 扩展先前关于映射类群子群中最小平移长度的研究结果，特别是针对旋轮体映射类群和同调稀释度为1的映射类。
• 证明收敛至纤维面内部点的序列无法实现边界收敛序列中观察到的 $1/|\chi|$ 行为。
• 提供一个精确的上界，当 $r=1$ 时与已知下界一致，并猜想其对所有 $r \geq 1$ 均为精确的。

提出的方法

• 作者分析纤维化锥中一个真子锥 $P$ 内的纤维化单值表示序列 $(\Sigma_n, \psi_n)$，其中单值表示由有理子空间 $L \subset H^1(M)$（维数为 $r+1$）中的本原整系数上同调类诱导。
• 他们利用纤维化锥的对偶锥几何结构和格点投影技术，对格点与对应于与某些同调类不相交的曲线的截面 $\Omega(b)$ 的并集之间的距离进行上界估计。
• 通过应用引理8和引理9，他们证明当 $n$ 足够大时，存在一点 $y$，其到原点及所有 $\Omega(b)$ 的距离均满足 $\gtrsim n^{1/r}$，从而保证在单值表示的迭代 $Cn^{1+1/r}$ 步后，某条曲线的像与一条固定曲线保持不相交。
• 他们利用曲线图度量，并利用若 $\widetilde{\psi}^{Cn^{1/r}}(\gamma')$ 与 $\gamma$ 不相交，则 $d_{\mathcal{C}}(\gamma, \psi^{Cn^{1/r}}(\gamma')) = 1$ 的事实，导出渐近平移长度的上界 $l_\alpha \lesssim 2/(Cn^{1+1/r}) \sim |\chi(\Sigma_\alpha)|^{-1-1/r}$。
• 该证明依赖于不变同调子空间中格点的系统长度与体积，格点的退化或非退化决定了此类点 $y$ 的存在性。
• 该结果被应用于旋轮体映射类群以及同调稀释度为1的映射类集合，利用Hironaka和Kin–Shin已知的构造方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 当上同调类在射影意义下收敛至纤维面内部点时，纤维化双曲3-流形中伪阿诺索夫单值表示的渐近平移长度的渐近上界是什么？
• RQ2 单值表示的 $\psi_n$-不变同调子空间的维数 $r$ 如何影响渐近平移长度的衰减速率？
• RQ3 上界 $1/|\chi(\Sigma_n)|^{1+1/r}$ 是否可实现？对所有 $r \geq 1$ 是否都是精确的？
• RQ4 旋轮体映射类群以及同调稀释度为1的映射类集合中，最小渐近平移长度的渐近行为如何？
• RQ5 在收敛至纤维面边界时观察到的 $1/|\chi|$ 衰减率，是否也存在于收敛至内部点的序列中？

主要发现

• 对于由有理子空间 $L$（维数为 $r+1$）中本原整系数类 $\alpha$ 诱导的伪阿诺索夫单值表示 $\psi_\alpha$，其渐近平移长度 $l_{\psi_\alpha}$ 的上界为 $C/|\chi(\Sigma_\alpha)|^{1+1/r}$，其中常数 $C = C(P)$ 仅依赖于子锥 $P$。
• 当 $b_1(M) = 2$ 时，上界简化为 $1/|\chi(\Sigma_n)|^2$，该界与已知下界一致，因此是精确的。
• 对于纤维化锥中二维有理子空间内的序列，旋轮体映射类群中的最小渐近平移长度满足 $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}_g) \asymp 1/g^2$，从而为Kin–Shin的结果提供了新证明。
• 类似地，对于同调稀释度为1的映射类集合 $\Delta_g$，其最小渐近平移长度满足 $L_{\mathcal{C}}(\Delta_g) \asymp 1/g^2$，再次与已知渐近速率一致。
• 上界 $1/|\chi|^{1+1/r}$ 猜想对所有 $r \geq 1$ 均为精确的，且当 $r=1$ 时已知为精确，因Garncarek–Tiozzo给出了下界。
• 该结果意味着收敛至纤维面内部点的序列无法表现出边界收敛序列中观察到的 $1/|\chi|$ 衰减，这与Hironaka及其他人的已知例子一致。