[论文解读] Analogs of the Hamilton-Jacobi and Schrodinger Equations for Multidimensional Variational Problems of Field Theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2002

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过在曲线空间中运用几何光学类比，推导出具有多个自变量的多维场论的哈密顿-雅可比方程和薛定谔方程的类比形式。关键贡献是在参数化曲线空间中得到一个非线性一阶哈密顿-雅可比型方程和一个线性薛定谔型方程，且针对二维时空中的标量场拉格朗日量给出了显式形式。

ABSTRACT

Generalizations of the Hamilton-Jacobi and Schrodinger equations for multidimensional variational problems of field theory are deduced. These generalizations are so-called variational differential equations.

研究动机与目标

• 将哈密顿-雅可比方程和薛定谔方程推广至具有多个自变量的场论变分问题。
• 在参数化曲线空间中建立几何光学类比，以模拟光在非均匀介质中的传播和极值路径。
• 推导出类比于哈密顿-雅可比方程的变分微分方程，适用于场论作用泛函。
• 通过将变分导数替换为微分算子，建立类量子形式，从而导出薛定谔型方程。
• 通过几何框架的推广，将该形式推广至任意数量的自变量和因变量。

提出的方法

• 在 R³ 中的曲线上定义飞行时间泛函 Φ(δx, δy, δz)，以模拟由曲线参数化的介质中光的传播。
• 将指标面定义为曲线变分空间中的超曲面 Φ = 1，表示单位传播时间。
• 将作用泛函 S(C) 定义为从固定点 C₀ 到曲线 C 的最短时间，类比于几何光学中的eikonal函数。
• 应用无穷小形式的惠更斯原理，推导出通过 δS/δx = c δΦ/δ(δx) 等关系将 S 与 Φ 关联的变分导数恒等式。
• 将变分导数 δS/δx、δS/δy、δS/δz 用拉格朗日量 F 及其对 zₓ 和 zᵧ 的导数表示。
• 利用链式法则 ẋzₓ + ẏzᵧ = ż 消去 zₓ 和 zᵧ，通过正则量子化替换导出非线性一阶方程（类哈密顿-雅可比方程）和线性二阶方程（类薛定谔方程）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过变分原理将哈密顿-雅可比方程推广至具有多个自变量的场论？
• RQ2 作用泛函在曲线空间中的几何解释是什么？它与非平凡介质中光的传播有何关系？
• RQ3 能否通过正则量子化从多维场论的变分结构中导出类薛定谔方程？
• RQ4 能量-动量张量分量如何自然地出现在作用泛函的变分导数中？
• RQ5 参数化不变性在所推导方程中的作用是什么？它在变分形式中如何被保持？

主要发现

• 本文通过从作用泛函的变分导数中消去 zₓ 和 zᵧ，推导出一个非线性一阶变分微分方程，即哈密顿-雅可比方程的类比形式。
• 对于标量场拉格朗日量 F = ½(zₓ² − zᵧ²) + p(z)，哈密顿-雅可比类比形式为：½((δS/δz)² + ż²) + (ẋ² − ẏ²)p(z) + ẋ(δS/δy) + ẏ(δS/δx) = 0。
• 通过替换 δS/δx → −iδ/δx，δS/δy → −iδ/δy，δS/δz → −iδ/δz，本文得到一个在曲线空间中的线性二阶薛定谔型方程。
• 所得薛定谔方程为：½(−δ²Ψ/δz² + ż²Ψ) + (ẋ² − ẏ²)p(z)Ψ − i(ẋ δΨ/δy + ẏ δΨ/δx) = 0，且满足参数化不变性约束。
• 所推导的方程在曲线重参数化下保持不变，体现于约束 ẋ δΨ/δx + ẏ δΨ/δy + ż δΨ/δz = 0。
• 该形式可直接推广至 m 个自变量和 n 个因变量的情形，通过考虑 R^{m+n} 中的 (m−1) 维子流形实现。