[论文解读] Analysis of a Class of Likelihood Based Continuous Time Stochastic Volatility Models including Ornstein-Uhlenbeck Models in Financial Economics

Lancelot F. James|ArXiv.org|Mar 3, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于似然函数的可处理框架，用于连续时间随机波动率模型，包括Ornstein-Uhlenbeck过程，通过将积分波动率表示为泊松随机测度的线性泛函来实现。利用埃舍尔变换及Weber-Sonine公式的一个特例，通过多维余弦傅里叶变换推导出显式边缘似然函数，从而实现无需模拟的完整贝叶斯推断，并允许对具有杠杆效应的模型进行精确数值积分。

ABSTRACT

In a series of recent papers Barndorff-Nielsen and Shephard introduce an attractive class of continuous time stochastic volatility models for financial assets where the volatility processes are functions of positive Ornstein-Uhlenbeck(OU) processes. This models are known to be substantially more flexible than Gaussian based models. One current problem of this approach is the unavailability of a tractable exact analysis of likelihood based stochastic volatility models for the returns of log prices of stocks. With this point in mind, the likelihood models of Barndorff-Nielsen and Shephard are viewed as members of a much larger class of models. That is likelihoods based on n conditionally independent Normal random variables whose mean and variance are representable as linear functionals of a common unobserved Poisson random measure. The analysis of these models is facilitated by applying the methods in James (2005, 2002), in particular an Esscher type transform of Poisson random measures; in conjunction with a special case of the Weber-Sonine formula. It is shown that the marginal likelihood may be expressed in terms of a multidimensional Fourier-cosine transform. This yields tractable forms of the likelihood and also allows a full Bayesian posterior analysis of the integrated volatility process. A general formula for the posterior density of the log price given the observed data is derived, which could potentially have applications to option pricing. We extend the models to include leverage effects in section 5. It is shown that inference does not necessarily require simulation of random measures. Rather, classical numerical integration can be used in the most general cases.

研究动机与目标

• 解决基于积分波动率的连续时间随机波动率模型缺乏可处理似然分析的问题。
• 通过泊松随机测度，将Barndorff-Nielsen与Shephard的OU基础模型扩展至更广泛的基于似然的模型类别。
• 实现对积分波动率过程的完整贝叶斯后部分析，无需对随机测度进行模拟。
• 推导出包含价格-波动率动态中杠杆效应的似然函数的显式表达式。
• 证明经典数值积分方法足以完成推断，即使在一般情况下也无需依赖Lévy密度知识。

提出的方法

• 将积分波动率过程 τ(t) 表示为一个共同未观测的泊松随机测度的线性泛函。
• 对泊松随机测度应用一种埃舍尔型变换，以促进似然计算。
• 利用涉及贝塞尔函数与余弦变换的Weber-Sonine公式的一个特例，表达边缘似然函数。
• 通过似然的余弦傅里叶表示，推导出对数价格的后预测密度。
• 利用正态变量的特征函数恒等式，处理杠杆模型中相关跳跃分量。
• 将似然表示为 ℝⁿ 上的积分，涉及复值函数 Υₙ 与 Ωₙ，从而实现数值计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不依赖MCMC模拟，对一类广义的基于似然的连续时间随机波动率模型进行分析？
• RQ2 当积分波动率是泊松随机测度的线性泛函时，能否推导出边缘似然的显式表达式？
• RQ3 如何将价格与波动率跳跃之间的杠杆效应整合进一个可处理的似然框架中？
• RQ4 是否可以仅使用经典数值积分方法，对积分波动率过程进行贝叶斯推断？
• RQ5 是否可以在不明确掌握Lévy密度的情况下进行推断，而仅依赖于基本随机变量的拉普拉斯变换？

主要发现

• 观测对数收益的边缘似然可表示为多维余弦傅里叶变换，从而实现可处理的计算。
• 给定数据的对数价格后验密度被显式推导出，可能支持期权定价中的应用。
• 对于具有杠杆效应的模型，似然表示为涉及由正态变量特征函数导出的复值函数的积分。
• 对某些子类模型，推断仅需有限个独立的潜变量，从而简化计算。
• 该框架允许使用经典数值积分实现精确的似然评估，避免对随机测度的模拟。
• 即使Lévy密度未知，只要已知拉普拉斯变换（或Lévy指数），该方法依然有效。